Номер 3, страница 141, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3. Найдите значение выражения:

1) $\arcsin\left(\cos\frac{50\pi}{14}\right)$;

2) $\arccos\left(\sin\frac{27\pi}{7}\right)$;

3) $\arcsin\left(\sin\frac{10\pi}{3}\right)$;

4) $\arcsin(\sin6)$;

5) $\arcsin(\cos8)$;

6) $\arccos(\cos10).$

1) arcsin(cos(50π/14))

Сначала упростим аргумент косинуса: $ \frac{50\pi}{14} = \frac{25\pi}{7} $. Выражение принимает вид: $ \arcsin(\cos(\frac{25\pi}{7})) $. Воспользуемся формулой приведения $ \cos(x) = \sin(\frac{\pi}{2} - x) $. $ \cos(\frac{25\pi}{7}) = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{25\pi}{7}) = \sin(\frac{7\pi - 50\pi}{14}) = \sin(-\frac{43\pi}{14}) $. Теперь выражение выглядит так: $ \arcsin(\sin(-\frac{43\pi}{14})) $. Область значений арксинуса $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $. Угол $ -\frac{43\pi}{14} $ не входит в этот промежуток. Нам нужно найти такой угол $ \alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $, что $ \sin(\alpha) = \sin(-\frac{43\pi}{14}) $. Используем периодичность синуса $ \sin(x) = \sin(x+2k\pi) $ и свойство нечетности $ \sin(-x) = -\sin(x) $. $ \sin(-\frac{43\pi}{14}) = \sin(-\frac{43\pi}{14} + 4\pi) = \sin(\frac{-43\pi + 56\pi}{14}) = \sin(\frac{13\pi}{14}) $. Угол $ \frac{13\pi}{14} $ все еще не входит в $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $. Воспользуемся формулой $ \sin(x) = \sin(\pi - x) $. $ \sin(\frac{13\pi}{14}) = \sin(\pi - \frac{13\pi}{14}) = \sin(\frac{\pi}{14}) $. Угол $ \frac{\pi}{14} $ принадлежит промежутку $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $. Следовательно, $ \arcsin(\sin(\frac{\pi}{14})) = \frac{\pi}{14} $.

Более простой способ: $ \cos(\frac{25\pi}{7}) = \cos(\frac{28\pi - 3\pi}{7}) = \cos(4\pi - \frac{3\pi}{7}) = \cos(-\frac{3\pi}{7}) = \cos(\frac{3\pi}{7}) $. Тогда $ \arcsin(\cos(\frac{3\pi}{7})) = \arcsin(\sin(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{7})) = \arcsin(\sin(\frac{7\pi-6\pi}{14})) = \arcsin(\sin(\frac{\pi}{14})) $. Так как $ \frac{\pi}{14} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $, то результат равен $ \frac{\pi}{14} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{14} $

2) arccos(sin(27π/7))

Воспользуемся формулой приведения $ \sin(x) = \cos(\frac{\pi}{2} - x) $. $ \sin(\frac{27\pi}{7}) = \sin(\frac{28\pi - \pi}{7}) = \sin(4\pi - \frac{\pi}{7}) = \sin(-\frac{\pi}{7}) $. Выражение принимает вид: $ \arccos(\sin(-\frac{\pi}{7})) $. Теперь преобразуем синус в косинус: $ \sin(-\frac{\pi}{7}) = \cos(\frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{7})) = \cos(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{7}) = \cos(\frac{7\pi + 2\pi}{14}) = \cos(\frac{9\pi}{14}) $. Получаем $ \arccos(\cos(\frac{9\pi}{14})) $. Область значений арккосинуса $ [0, \pi] $. Так как $ 0 \le \frac{9\pi}{14} \le \pi $ (поскольку $ 0 \le 9 \le 14 $), то искомое значение равно $ \frac{9\pi}{14} $.

Ответ: $ \frac{9\pi}{14} $

3) arcsin(sin(10π/3))

По определению $ \arcsin(\sin(x)) = x $ только если $ x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $. Угол $ \frac{10\pi}{3} $ не принадлежит этому промежутку. Найдем эквивалентный угол. $ \frac{10\pi}{3} = \frac{9\pi+\pi}{3} = 3\pi + \frac{\pi}{3} $. $ \sin(\frac{10\pi}{3}) = \sin(3\pi + \frac{\pi}{3}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) $. Выражение принимает вид: $ \arcsin(-\sin(\frac{\pi}{3})) $. Используя свойство нечетности арксинуса $ \arcsin(-x) = -\arcsin(x) $, получаем: $ -\arcsin(\sin(\frac{\pi}{3})) $. Так как $ \frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $, то $ \arcsin(\sin(\frac{\pi}{3})) = \frac{\pi}{3} $. Следовательно, итоговый результат $ -\frac{\pi}{3} $.

Ответ: $ -\frac{\pi}{3} $

4) arcsin(sin(6))

Область значений арксинуса $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $. Приближенно $ \pi \approx 3.14159 $, значит $ -\frac{\pi}{2} \approx -1.57 $ и $ \frac{\pi}{2} \approx 1.57 $. Число 6 не входит в промежуток $ [-1.57, 1.57] $. Нам нужно найти угол $ \alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $ такой, что $ \sin(\alpha) = \sin(6) $. Используем периодичность синуса $ \sin(x) = \sin(x - 2\pi) $. $ \sin(6) = \sin(6 - 2\pi) $. Проверим, принадлежит ли угол $ 6 - 2\pi $ нужному промежутку. $ 6 - 2\pi \approx 6 - 2 \times 3.14159 = 6 - 6.28318 = -0.28318 $. Поскольку $ -1.57 < -0.28318 < 1.57 $, то $ 6 - 2\pi \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $. Следовательно, $ \arcsin(\sin(6)) = \arcsin(\sin(6 - 2\pi)) = 6 - 2\pi $.

Ответ: $ 6 - 2\pi $

5) arcsin(cos(8))

Сначала используем формулу приведения $ \cos(x) = \sin(\frac{\pi}{2} - x) $. $ \cos(8) = \sin(\frac{\pi}{2} - 8) $. Выражение становится $ \arcsin(\sin(\frac{\pi}{2} - 8)) $. Проверим, принадлежит ли угол $ \frac{\pi}{2} - 8 $ области значений арксинуса $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $. $ \frac{\pi}{2} - 8 \approx 1.57 - 8 = -6.43 $. Это значение не входит в требуемый интервал. Найдем эквивалентный угол, используя периодичность синуса $ \sin(y) = \sin(y + 2k\pi) $. Пусть $ y = \frac{\pi}{2} - 8 $. При $ k=1 $: $ y + 2\pi = \frac{\pi}{2} - 8 + 2\pi = \frac{5\pi}{2} - 8 $. Оценим значение: $ \frac{5\pi}{2} - 8 \approx \frac{5 \times 3.14}{2} - 8 = 7.85 - 8 = -0.15 $. Значение -0.15 принадлежит интервалу $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \approx [-1.57, 1.57] $. Значит, $ \arcsin(\sin(\frac{\pi}{2} - 8)) = \arcsin(\sin(\frac{5\pi}{2} - 8)) = \frac{5\pi}{2} - 8 $.

Ответ: $ \frac{5\pi}{2} - 8 $

6) arccos(cos(10))

Область значений арккосинуса $ [0, \pi] $. Приближенно $ \pi \approx 3.14159 $. Число 10 не входит в этот промежуток. Нам нужно найти угол $ \alpha \in [0, \pi] $ такой, что $ \cos(\alpha) = \cos(10) $. Используем свойство четности косинуса $ \cos(x) = \cos(-x) $ и его периодичность $ \cos(x) = \cos(x + 2k\pi) $. $ \cos(10) = \cos(10 - 2k\pi) $ или $ \cos(10) = \cos(2k\pi - 10) $. Подберем целое $ k $ так, чтобы результат попал в промежуток $ [0, \pi] $. Попробуем $ k=1 $: $ \cos(10) = \cos(10-2\pi) \approx \cos(3.72) $. Не подходит. $ \cos(2\pi-10) \approx \cos(-3.72) $. Не подходит. Попробуем $ k=2 $: $ \cos(10) = \cos(10-4\pi) \approx \cos(10 - 12.57) = \cos(-2.57) $. Используя четность, $ \cos(-2.57) = \cos(2.57) $. Значение $ 2.57 $ принадлежит промежутку $ [0, \pi] \approx [0, 3.14] $. Таким образом, мы нашли, что $ \cos(10) = \cos(4\pi - 10) $. Поскольку $ 4\pi - 10 \in [0, \pi] $, то $ \arccos(\cos(10)) = \arccos(\cos(4\pi - 10)) = 4\pi - 10 $.

Ответ: $ 4\pi - 10 $