Номер 8, страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8. Докажите:

1) $\lim_{x\to\infty} \frac{x^2 - 2x}{2x^2 + 3} = \frac{1}{2}$;

2) $\lim_{x\to\infty} \frac{4x - 3x^3}{x^3 - 3x + 1} = -3$;

3) $\lim_{x\to\infty} \frac{x^2 - x - 6}{2 - x^2} = -1$;

4) $\lim_{x\to\infty} \frac{5x^2 - 3x^3 + 4x + 11}{x^3 - x + 3} = -3$.

1) Чтобы доказать данное равенство, найдем предел отношения двух многочленов при $x \to \infty$. Для этого разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменной $x$ в знаменателе, то есть на $x^2$.

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 2x}{2x^2 + 3} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^2 - 2x}{x^2}}{\frac{2x^2 + 3}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{2 + \frac{3}{x^2}}$.

Поскольку при $x \to \infty$ значения выражений $\frac{2}{x}$ и $\frac{3}{x^2}$ стремятся к нулю, мы можем подставить их предельные значения:

$\frac{1 - 0}{2 + 0} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, равенство доказано.

Ответ: $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 2x}{2x^2 + 3} = \frac{1}{2}$.

2) Для нахождения предела разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменной $x$ в знаменателе, которой является $x^3$.

$\lim_{x \to \infty} \frac{4x - 3x^3}{x^3 - 3x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4x - 3x^3}{x^3}}{\frac{x^3 - 3x + 1}{x^3}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^2} - 3}{1 - \frac{3}{x^2} + \frac{1}{x^3}}$.

При $x \to \infty$ выражения $\frac{4}{x^2}$, $\frac{3}{x^2}$ и $\frac{1}{x^3}$ стремятся к нулю. Следовательно, предел равен:

$\frac{0 - 3}{1 - 0 + 0} = -3$.

Равенство доказано.

Ответ: $\lim_{x \to \infty} \frac{4x - 3x^3}{x^3 - 3x + 1} = -3$.

3) Разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменной $x$ в знаменателе, то есть на $x^2$.

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - x - 6}{2 - x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^2 - x - 6}{x^2}}{\frac{2 - x^2}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{x} - \frac{6}{x^2}}{\frac{2}{x^2} - 1}$.

Поскольку при $x \to \infty$ выражения $\frac{1}{x}$, $\frac{6}{x^2}$ и $\frac{2}{x^2}$ стремятся к нулю, получаем:

$\frac{1 - 0 - 0}{0 - 1} = \frac{1}{-1} = -1$.

Равенство доказано.

Ответ: $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - x - 6}{2 - x^2} = -1$.

4) Для доказательства разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной $x$ в знаменателе, которой является $x^3$.

$\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 - 3x^3 + 4x + 11}{x^3 - x + 3} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5x^2}{x^3} - \frac{3x^3}{x^3} + \frac{4x}{x^3} + \frac{11}{x^3}}{\frac{x^3}{x^3} - \frac{x}{x^3} + \frac{3}{x^3}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - 3 + \frac{4}{x^2} + \frac{11}{x^3}}{1 - \frac{1}{x^2} + \frac{3}{x^3}}$.

При $x \to \infty$ все слагаемые вида $\frac{c}{x^n}$ (где $n>0$) стремятся к нулю. Таким образом, предел равен:

$\frac{0 - 3 + 0 + 0}{1 - 0 + 0} = \frac{-3}{1} = -3$.

Равенство доказано.

Ответ: $\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 - 3x^3 + 4x + 11}{x^3 - x + 3} = -3$.