Номер 15, страница 143, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15. Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству $f'(x) < 0$, если:

1) $f(x) = x^3 - 3x^2 - 2$;

2) $f(x) = x^3 - 3x^2 - 6x$;

3) $f(x) = 2x^3 + x^2 - 4x$;

4) $f(x) = x^2 + 2x - 3.

Для решения задачи необходимо для каждой функции найти её производную $f'(x)$, решить неравенство $f'(x) < 0$ и затем найти наибольшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству.

1) Дана функция $f(x) = x^3 - 3x^2 - 2$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^3 - 3x^2 - 2)' = 3x^2 - 6x$.

Теперь решим неравенство $f'(x) < 0$:

$3x^2 - 6x < 0$

Разделим обе части на 3:

$x^2 - 2x < 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 2) < 0$

Корнями соответствующего уравнения $x(x - 2) = 0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями.

Решением неравенства является интервал $(0; 2)$.

Нам нужно найти наибольшее целое число в этом интервале. Единственное целое число, которое больше 0 и меньше 2, это 1.

Ответ: 1

2) Дана функция $f(x) = x^3 - 3x^2 - 6x$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^3 - 3x^2 - 6x)' = 3x^2 - 6x - 6$.

Решим неравенство $f'(x) < 0$:

$3x^2 - 6x - 6 < 0$

Разделим обе части на 3:

$x^2 - 2x - 2 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 2x - 2 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.

Парабола $y = x^2 - 2x - 2$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$.

Оценим значения корней: $\sqrt{3} \approx 1.732$.

$1 - \sqrt{3} \approx 1 - 1.732 = -0.732$.

$1 + \sqrt{3} \approx 1 + 1.732 = 2.732$.

Таким образом, решение неравенства: $-0.732 < x < 2.732$.

Целые числа, входящие в этот интервал: 0, 1, 2. Наибольшее из них — 2.

Ответ: 2

3) Дана функция $f(x) = 2x^3 + x^2 - 4x$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (2x^3 + x^2 - 4x)' = 6x^2 + 2x - 4$.

Решим неравенство $f'(x) < 0$:

$6x^2 + 2x - 4 < 0$

Разделим обе части на 2:

$3x^2 + x - 2 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $3x^2 + x - 2 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{6} = \frac{-1 \pm 5}{6}$.

$x_1 = \frac{-1 - 5}{6} = -1$.

$x_2 = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Парабола $y = 3x^2 + x - 2$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $-1 < x < \frac{2}{3}$.

Наибольшее целое число в этом интервале — 0.

Ответ: 0

4) Дана функция $f(x) = x^2 + 2x - 3$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^2 + 2x - 3)' = 2x + 2$.

Решим неравенство $f'(x) < 0$:

$2x + 2 < 0$

$2x < -2$

$x < -1$

Нам нужно найти наибольшее целое число, которое меньше -1. Целые числа, удовлетворяющие этому условию: ..., -4, -3, -2. Наибольшее из них — -2.

Ответ: -2