Номер 16, страница 143, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16. 1) Найдите наименьшее целое решение неравенства $\frac{x-3}{2} \le \frac{(\sqrt{x}-5)^2}{x-6}$.

2) Найдите наибольшее целое решение неравенства $\frac{6-x}{\sqrt{x^2-8x+7}}$.

3) Решите неравенство $(x^2+2x-8)\cdot\sqrt{x^2+x-2} \le 0$.

1) Найдите наименьшее целое решение неравенства $\frac{x-3}{2} \le \frac{(\sqrt{x}-5)^2}{x-6}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ).

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x - 6 \ne 0 \implies x \ne 6$.

Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x \in [0, 6) \cup (6, \infty)$.

Рассмотрим два случая, в зависимости от знака знаменателя $x-6$.

Случай 1: $x \in [0, 6)$. В этом интервале $x-6 < 0$.

Числитель правой части $(\sqrt{x}-5)^2$ всегда неотрицателен. Следовательно, вся правая часть $\frac{(\sqrt{x}-5)^2}{x-6}$ является неположительной (меньше или равна нулю).

Рассмотрим левую часть $\frac{x-3}{2}$:

- При $x \in (3, 6)$ левая часть положительна. Неравенство "положительное число $\le$ неположительное число" неверно. Решений нет.

- При $x = 3$ левая часть равна 0. Неравенство принимает вид $0 \le \frac{(\sqrt{3}-5)^2}{3-6}$, что означает $0 \le \text{отрицательное число}$. Это неверно. Решений нет.

- При $x \in [0, 3)$ левая часть неположительна. В этом случае обе части неравенства неположительны. Проверим, подставив любое значение из этого интервала, например $x=1$:

$\frac{1-3}{2} \le \frac{(\sqrt{1}-5)^2}{1-6} \implies -1 \le \frac{(-4)^2}{-5} \implies -1 \le -\frac{16}{5} \implies -1 \le -3.2$. Это неверно.

Таким образом, в интервале $[0, 6)$ решений нет.

Случай 2: $x \in (6, \infty)$. В этом интервале $x-6 > 0$.

Можно умножить обе части неравенства на положительное число $2(x-6)$, не меняя знака неравенства:

$(x-3)(x-6) \le 2(\sqrt{x}-5)^2$

Раскроем скобки:

$x^2 - 6x - 3x + 18 \le 2(x - 10\sqrt{x} + 25)$

$x^2 - 9x + 18 \le 2x - 20\sqrt{x} + 50$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 11x - 32 + 20\sqrt{x} \le 0$

Обозначим функцию $f(x) = x^2 - 11x - 32 + 20\sqrt{x}$. Нам нужно найти, где $f(x) \le 0$ на интервале $(6, \infty)$.

Проверим значения функции в целых точках, начиная с $x=7$:

- $f(7) = 7^2 - 11(7) - 32 + 20\sqrt{7} = 49 - 77 - 32 + 20\sqrt{7} = -60 + 20\sqrt{7}$. Так как $4 < 7 < 9$, то $2 < \sqrt{7} < 3$. $20\sqrt{7} < 20 \cdot 3 = 60$. Значит, $f(7) < 0$, и $x=7$ является решением.

- $f(8) = 8^2 - 11(8) - 32 + 20\sqrt{8} = 64 - 88 - 32 + 40\sqrt{2} = -56 + 40\sqrt{2}$. Так как $1.4 < \sqrt{2} < 1.5$, то $40\sqrt{2} > 40 \cdot 1.4 = 56$. Значит, $f(8) > 0$, и $x=8$ не является решением.

Поскольку производная $f'(x) = 2x - 11 + \frac{10}{\sqrt{x}}$ положительна при $x>6$, функция $f(x)$ возрастает на интервале $(6, \infty)$. Это означает, что если $f(7) < 0$ и $f(8) > 0$, то все решения неравенства $f(x) \le 0$ находятся в промежутке $(6, x_0]$, где $7 < x_0 < 8$.

Единственное целое число в этом промежутке — это 7.

Наименьшее целое решение неравенства — это 7.

Ответ: 7.

2) Найдите наибольшее целое решение неравенства $\frac{6-x}{\sqrt{x^2 - 8x + 7}} \ge 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным:

$x^2 - 8x + 7 > 0$.

Корни уравнения $x^2 - 8x + 7 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 7$.

Парабола $y = x^2 - 8x + 7$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями.

ОДЗ: $x \in (-\infty, 1) \cup (7, \infty)$.

В области допустимых значений знаменатель $\sqrt{x^2 - 8x + 7}$ всегда положителен. Поэтому знак всей дроби совпадает со знаком числителя.

Неравенство равносильно условию $6 - x \ge 0$, то есть $x \le 6$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$x \le 6$ и $x \in (-\infty, 1) \cup (7, \infty)$.

- Пересечение $x \le 6$ с $(-\infty, 1)$ дает интервал $(-\infty, 1)$.

- Пересечение $x \le 6$ с $(7, \infty)$ дает пустое множество.

Следовательно, решение неравенства: $x \in (-\infty, 1)$.

Требуется найти наибольшее целое решение. В интервале $(-\infty, 1)$ содержатся целые числа $\dots, -2, -1, 0$. Наибольшее из них — 0.

Ответ: 0.

3) Решите неравенство $(x^2 + 2x - 8) \cdot \sqrt{x^2 + x - 2} \le 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x^2 + x - 2 \ge 0$.

Корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.

Парабола $y = x^2 + x - 2$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется на концах и вне интервала между корнями.

ОДЗ: $x \in (-\infty, -2] \cup [1, \infty)$.

Произведение двух множителей неположительно. Второй множитель, $\sqrt{x^2 + x - 2}$, в ОДЗ всегда неотрицателен. Поэтому неравенство может выполняться только в двух случаях.

Случай 1: Произведение равно нулю.

Это происходит, если хотя бы один из множителей равен нулю.

- $\sqrt{x^2 + x - 2} = 0 \implies x^2 + x - 2 = 0$. Корни $x = -2$ и $x = 1$. Эти значения входят в ОДЗ и являются решениями.

- $x^2 + 2x - 8 = 0$. Корни $x = -4$ и $x = 2$. Оба значения входят в ОДЗ ($(-4 \le -2)$ и $(2 \ge 1)$), поэтому они также являются решениями.

Случай 2: Произведение строго отрицательно.

Так как $\sqrt{x^2 + x - 2}$ не может быть отрицательным, этот случай возможен, только если первый множитель строго отрицателен, а второй строго положителен.

$\begin{cases} x^2 + 2x - 8 < 0 \\ \sqrt{x^2 + x - 2} > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 + 2x - 8 < 0$. Корни $x_1=-4, x_2=2$. Неравенство выполняется между корнями: $x \in (-4, 2)$.

Второе неравенство $x^2 + x - 2 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -2) \cup (1, \infty)$.

Найдем пересечение этих множеств: $x \in (-4, 2) \cap ((-\infty, -2) \cup (1, \infty))$.

Это дает $x \in (-4, -2) \cup (1, 2)$.

Объединим решения из обоих случаев:

- Точки из случая 1: $\{-4, -2, 1, 2\}$.

- Интервалы из случая 2: $(-4, -2) \cup (1, 2)$.

Объединение дает замкнутые интервалы: $[-4, -2] \cup [1, 2]$.

Ответ: $x \in [-4, -2] \cup [1, 2]$.