Номер 23, страница 144, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23. Найдите промежутки возрастания и убывания функции $f(x):$

1) $f(x) = x^2 + 12x - 100;$

2) $f(x) = 5x^2 - 3x - 1;$

3) $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9;$

4) $f(x) = x^3 - 3x.$

5) $f(x) = \frac{2x}{x+1};$

6) $f(x) = \frac{3x}{x^2 - 9};$

7) $f(x) = \frac{x}{25 - x^2};$

8) $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 - 4}.$

1) Для функции $f(x) = x^2 + 12x - 100$ находим промежутки возрастания и убывания.

1. Область определения функции $D(f) = (-\infty, +\infty)$, так как это многочлен.

2. Находим производную функции: $f'(x) = (x^2 + 12x - 100)' = 2x + 12$.

3. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю: $f'(x) = 0$.

$2x + 12 = 0 \Rightarrow x = -6$.

4. Определяем знаки производной на интервалах, на которые числовая ось делится критической точкой $x=-6$.

На интервале $(-\infty, -6)$: $f'(-7) = 2(-7)+12 = -2 < 0$, значит, функция убывает.

На интервале $(-6, +\infty)$: $f'(0) = 2(0)+12 = 12 > 0$, значит, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-6, +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty, -6]$.

2) Для функции $f(x) = 5x^2 - 3x - 1$.

1. Область определения: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Производная: $f'(x) = (5x^2 - 3x - 1)' = 10x - 3$.

3. Критические точки: $10x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{10} = 0.3$.

4. Знаки производной:

На интервале $(-\infty, 0.3)$: $f'(0) = -3 < 0$, функция убывает.

На интервале $(0.3, +\infty)$: $f'(1) = 10-3 = 7 > 0$, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0.3, +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty, 0.3]$.

3) Для функции $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9$.

1. Область определения: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Производная: $f'(x) = (x^3 - 6x^2 + 9)' = 3x^2 - 12x = 3x(x - 4)$.

3. Критические точки: $3x(x - 4) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 4$.

4. Знаки производной на интервалах $(-\infty, 0)$, $(0, 4)$, $(4, +\infty)$.

На $(-\infty, 0)$: $f'(-1) = 3(-1)(-1-4) = 15 > 0$, функция возрастает.

На $(0, 4)$: $f'(1) = 3(1)(1-4) = -9 < 0$, функция убывает.

На $(4, +\infty)$: $f'(5) = 3(5)(5-4) = 15 > 0$, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[4, +\infty)$, убывает на промежутке $[0, 4]$.

4) Для функции $f(x) = x^3 - 3x$.

1. Область определения: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Производная: $f'(x) = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$.

3. Критические точки: $3(x-1)(x+1) = 0 \Rightarrow x_1 = -1, x_2 = 1$.

4. Знаки производной на интервалах $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$, $(1, +\infty)$.

На $(-\infty, -1)$: $f'(-2) = 3((-2)^2 - 1) = 9 > 0$, функция возрастает.

На $(-1, 1)$: $f'(0) = 3(0^2 - 1) = -3 < 0$, функция убывает.

На $(1, +\infty)$: $f'(2) = 3(2^2 - 1) = 9 > 0$, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$, убывает на промежутке $[-1, 1]$.

5) Для функции $f(x) = \frac{2x}{x+1}$.

1. Область определения: знаменатель не равен нулю, $x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$. $D(f) = (-\infty, -1) \cup (-1, +\infty)$.

2. Производная (по правилу частного): $f'(x) = \frac{(2x)'(x+1) - 2x(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{2(x+1) - 2x(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x+2-2x}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$.

3. Критические точки: $f'(x)=0$ не имеет решений, так как числитель равен 2. Производная не определена в точке $x=-1$, которая не входит в область определения.

4. Знак производной: $f'(x) = \frac{2}{(x+1)^2}$. Числитель $2>0$, знаменатель $(x+1)^2 > 0$ для всех $x$ из области определения. Следовательно, $f'(x) > 0$ на всей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1)$ и $(-1, +\infty)$, промежутков убывания нет.

6) Для функции $f(x) = \frac{3x}{x^2 - 9}$.

1. Область определения: $x^2 - 9 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 3$. $D(f) = (-\infty, -3) \cup (-3, 3) \cup (3, +\infty)$.

2. Производная: $f'(x) = \frac{(3x)'(x^2-9) - 3x(x^2-9)'}{(x^2-9)^2} = \frac{3(x^2-9) - 3x(2x)}{(x^2-9)^2} = \frac{3x^2 - 27 - 6x^2}{(x^2-9)^2} = \frac{-3x^2 - 27}{(x^2-9)^2} = \frac{-3(x^2+9)}{(x^2-9)^2}$.

3. Критические точки: $f'(x)=0$ не имеет решений, так как числитель $-3(x^2+9)$ никогда не равен нулю ($x^2+9>0$). Производная не определена в точках $x=\pm 3$, которые не входят в область определения.

4. Знак производной: $f'(x) = \frac{-3(x^2+9)}{(x^2-9)^2}$. Числитель $-3(x^2+9) < 0$, знаменатель $(x^2-9)^2 > 0$ для всех $x$ из области определения. Следовательно, $f'(x) < 0$ на всей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, -3)$, $(-3, 3)$ и $(3, +\infty)$, промежутков возрастания нет.

7) Для функции $f(x) = \frac{x}{25 - x^2}$.

1. Область определения: $25 - x^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 5$. $D(f) = (-\infty, -5) \cup (-5, 5) \cup (5, +\infty)$.

2. Производная: $f'(x) = \frac{(x)'(25-x^2) - x(25-x^2)'}{(25-x^2)^2} = \frac{1(25-x^2) - x(-2x)}{(25-x^2)^2} = \frac{25-x^2+2x^2}{(25-x^2)^2} = \frac{x^2+25}{(25-x^2)^2}$.

3. Критические точки: $f'(x)=0$ не имеет решений ($x^2+25>0$). Производная не определена в точках $x=\pm 5$, которые не входят в область определения.

4. Знак производной: $f'(x) = \frac{x^2+25}{(25-x^2)^2}$. Числитель $x^2+25 > 0$, знаменатель $(25-x^2)^2 > 0$ для всех $x$ из области определения. Следовательно, $f'(x) > 0$ на всей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -5)$, $(-5, 5)$ и $(5, +\infty)$, промежутков убывания нет.

8) Для функции $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 - 4}$.

1. Область определения: $x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2$. $D(f) = (-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty)$.

2. Производная: $f'(x) = \frac{(x^2-9)'(x^2-4) - (x^2-9)(x^2-4)'}{(x^2-4)^2} = \frac{2x(x^2-4) - (x^2-9)(2x)}{(x^2-4)^2} = \frac{2x^3 - 8x - 2x^3 + 18x}{(x^2-4)^2} = \frac{10x}{(x^2-4)^2}$.

3. Критические точки: $f'(x) = 0 \Rightarrow 10x=0 \Rightarrow x=0$. Точки, где производная не определена: $x=\pm 2$ (не входят в область определения).

4. Определяем знаки производной на интервалах, на которые числовая ось делится точками $x=-2, x=0, x=2$. Интервалы: $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$, $(0, 2)$, $(2, +\infty)$.

Знаменатель производной $(x^2-4)^2$ всегда положителен. Знак $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $10x$.

На интервалах $(-\infty, -2)$ и $(-2, 0)$: $10x < 0$, значит $f'(x) < 0$, функция убывает.

На интервалах $(0, 2)$ и $(2, +\infty)$: $10x > 0$, значит $f'(x) > 0$, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[0, 2)$ и $(2, +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty, -2)$ и $(-2, 0]$.