Номер 27, страница 144, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

27. Найдите критические точки функции:

1) $f(x) = x - 2\sin x;$

2) $f(x) = x + \cos 2x.$

Критическими точками функции называются внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует.

1) $f(x) = x - 2\sin x$

Сначала найдем область определения функции. Функция $f(x) = x - 2\sin x$ определена для всех действительных чисел $x$, то есть область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Теперь найдем производную функции:

$f'(x) = (x - 2\sin x)' = (x)' - (2\sin x)' = 1 - 2\cos x$.

Производная $f'(x)$ существует для всех $x$ из области определения, поэтому критические точки можно найти, только решив уравнение $f'(x) = 0$.

$1 - 2\cos x = 0$

$2\cos x = 1$

$\cos x = \frac{1}{2}$

Решениями этого тригонометрического уравнения являются:

$x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Это и есть критические точки данной функции.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $f(x) = x + \cos 2x$

Область определения функции $f(x) = x + \cos 2x$ — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции для $\cos 2x$:

$f'(x) = (x + \cos 2x)' = (x)' + (\cos 2x)' = 1 - (\sin 2x) \cdot (2x)' = 1 - 2\sin 2x$.

Производная $f'(x)$ существует для всех $x$ из области определения. Найдем критические точки из условия $f'(x) = 0$.

$1 - 2\sin 2x = 0$

$2\sin 2x = 1$

$\sin 2x = \frac{1}{2}$

Решим это тригонометрическое уравнение относительно $2x$:

$2x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$2x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Теперь найдем $x$, разделив обе части на 2:

$x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Это и есть критические точки данной функции.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.