Номер 28, страница 144, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

28. Составьте уравнение касательной к графику функции:

1) $f(x) = \sqrt{3x+1}$, параллельной прямой $y = \frac{3}{4}x$;

2) $f(x) = \sqrt{3-2x}$, параллельной прямой $y = -x+5$.

1) Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Угловой коэффициент касательной $k$ равен значению производной функции в точке касания, то есть $k = f'(x_0)$.

По условию, касательная должна быть параллельна прямой $y = \frac{3}{4}x$. Условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент данной прямой равен $\frac{3}{4}$.

Следовательно, $f'(x_0) = \frac{3}{4}$.

Найдем производную функции $f(x) = \sqrt{3x+1}$:

$f'(x) = (\sqrt{3x+1})' = ((3x+1)^{1/2})' = \frac{1}{2}(3x+1)^{-1/2} \cdot (3x+1)' = \frac{1}{2\sqrt{3x+1}} \cdot 3 = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$.

Теперь найдем абсциссу точки касания $x_0$, решив уравнение $f'(x_0) = \frac{3}{4}$:

$\frac{3}{2\sqrt{3x_0+1}} = \frac{3}{4}$

Разделив обе части на 3, получим:

$\frac{1}{2\sqrt{3x_0+1}} = \frac{1}{4}$

Отсюда следует, что $2\sqrt{3x_0+1} = 4$, или $\sqrt{3x_0+1} = 2$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$3x_0+1 = 4$

$3x_0 = 3$

$x_0 = 1$.

Теперь найдем ординату точки касания, подставив $x_0=1$ в исходную функцию:

$y_0 = f(1) = \sqrt{3 \cdot 1 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Итак, точка касания имеет координаты $(1; 2)$.

Подставим найденные значения $x_0=1$, $y_0=f(1)=2$ и $k=f'(1)=\frac{3}{4}$ в уравнение касательной:

$y = 2 + \frac{3}{4}(x - 1)$

$y = 2 + \frac{3}{4}x - \frac{3}{4}$

$y = \frac{3}{4}x + \frac{8}{4} - \frac{3}{4}$

$y = \frac{3}{4}x + \frac{5}{4}$.

Ответ: $y = \frac{3}{4}x + \frac{5}{4}$.

2) Дана функция $f(x) = \sqrt{3-2x}$ и прямая $y = -x + 5$.

Угловой коэффициент данной прямой равен $k = -1$. Поскольку искомая касательная параллельна этой прямой, ее угловой коэффициент $f'(x_0)$ также должен быть равен $-1$.

Найдем производную функции $f(x) = \sqrt{3-2x}$:

$f'(x) = (\sqrt{3-2x})' = ((3-2x)^{1/2})' = \frac{1}{2}(3-2x)^{-1/2} \cdot (3-2x)' = \frac{1}{2\sqrt{3-2x}} \cdot (-2) = -\frac{1}{\sqrt{3-2x}}$.

Найдем абсциссу точки касания $x_0$, решив уравнение $f'(x_0) = -1$:

$-\frac{1}{\sqrt{3-2x_0}} = -1$

$\frac{1}{\sqrt{3-2x_0}} = 1$

$\sqrt{3-2x_0} = 1$

Возведем обе части в квадрат:

$3-2x_0 = 1$

$2 = 2x_0$

$x_0 = 1$.

Найдем ординату точки касания, подставив $x_0=1$ в функцию:

$y_0 = f(1) = \sqrt{3-2 \cdot 1} = \sqrt{1} = 1$.

Точка касания имеет координаты $(1; 1)$.

Составим уравнение касательной, используя точку $(1; 1)$ и угловой коэффициент $k = -1$:

$y - 1 = -1(x - 1)$

$y - 1 = -x + 1$

$y = -x + 2$.

Ответ: $y = -x + 2$.