Номер 24, страница 144, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

24. Докажите, что функция:

1) $f(x) = x + \frac{1}{x}$ возрастает при $x > 1$;

2) $f(x) = x^2 + \frac{2}{x}$ убывает при $x < 0$ и при $0 < x < 1$.

1)Чтобы доказать, что функция $f(x) = x + \frac{1}{x}$ возрастает при $x > 1$, мы можем использовать производную. Функция является возрастающей на интервале, если ее производная на этом интервале положительна ($f'(x) > 0$).

Сначала найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \left(x + \frac{1}{x}\right)' = (x + x^{-1})' = 1 - 1 \cdot x^{-2} = 1 - \frac{1}{x^2}$.

Теперь необходимо определить знак производной на промежутке $x > 1$.

Если $x > 1$, то возведя обе части в квадрат (так как обе части положительны), получим $x^2 > 1$.

Поскольку $x^2 > 1$, то обратное значение $\frac{1}{x^2}$ будет меньше 1, то есть $0 < \frac{1}{x^2} < 1$.

Следовательно, разность $1 - \frac{1}{x^2}$ будет положительной:

$f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} > 0$.

Так как производная функции положительна для всех $x > 1$, функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2)Чтобы доказать, что функция $f(x) = x^2 + \frac{2}{x}$ убывает при $x < 0$ и при $0 < x < 1$, мы также воспользуемся производной. Функция является убывающей на интервале, если ее производная на этом интервале отрицательна ($f'(x) < 0$).

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \left(x^2 + \frac{2}{x}\right)' = (x^2 + 2x^{-1})' = 2x - 2 \cdot x^{-2} = 2x - \frac{2}{x^2}$.

Для анализа знака приведем производную к общему знаменателю:

$f'(x) = \frac{2x \cdot x^2 - 2}{x^2} = \frac{2x^3 - 2}{x^2} = \frac{2(x^3 - 1)}{x^2}$.

Знаменатель $x^2$ всегда положителен при $x \neq 0$. Таким образом, знак производной $f'(x)$ определяется знаком числителя $2(x^3 - 1)$, а значит, знаком выражения $(x^3 - 1)$.

Рассмотрим два указанных промежутка:

а) При $x < 0$ (промежуток $(-\infty, 0)$):

Если $x < 0$, то $x^3 < 0$. Тогда разность $x^3 - 1$ будет отрицательной.

Числитель $2(x^3 - 1)$ отрицателен, а знаменатель $x^2$ положителен, следовательно, вся дробь отрицательна: $f'(x) < 0$.

Это означает, что функция $f(x)$ убывает на промежутке $(-\infty, 0)$.

б) При $0 < x < 1$ (промежуток $(0, 1)$):

Если $0 < x < 1$, то $0 < x^3 < 1$. Тогда разность $x^3 - 1$ будет отрицательной.

Числитель $2(x^3 - 1)$ снова отрицателен, а знаменатель $x^2$ положителен, следовательно, $f'(x) < 0$.

Это означает, что функция $f(x)$ убывает на промежутке $(0, 1)$.

Таким образом, доказано, что функция убывает на обоих указанных промежутках.

Ответ: Доказано.