Номер 26, страница 144, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

26. Составьте уравнение касательной и нормали к графику функции $y = f(x)$ в точке $x_0 = 0$:

1) $y = 2x - \sqrt{x+1}$;

2) $y = \sqrt{3x+1}$;

3) $y = 1 + \frac{1}{x+2}$;

4) $y = \frac{1}{\sqrt{1-x}}$.

27.

Общий вид уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Общий вид уравнения нормали к графику функции (прямой, перпендикулярной касательной) в той же точке:

$y = f(x_0) - \frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0)$ (при условии $f'(x_0) \neq 0$).

Во всех представленных задачах $x_0 = 0$.

1) $y = 2x - \sqrt{x+1}$

1. Находим координату $y_0$ точки касания, подставив $x_0 = 0$ в уравнение функции:

$y_0 = f(0) = 2(0) - \sqrt{0+1} = -1$.

Точка касания имеет координаты $(0; -1)$.

2. Находим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (2x - \sqrt{x+1})' = 2 - \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$.

3. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 0$, чтобы найти угловой коэффициент касательной $k_{кас}$:

$k_{кас} = f'(0) = 2 - \frac{1}{2\sqrt{0+1}} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

4. Составляем уравнение касательной, используя формулу $y = f(0) + f'(0)x$:

$y = -1 + \frac{3}{2}x$.

5. Находим угловой коэффициент нормали $k_{норм}$, который равен $-\frac{1}{k_{кас}}$:

$k_{норм} = -\frac{1}{3/2} = -\frac{2}{3}$.

6. Составляем уравнение нормали, используя формулу $y = f(0) - \frac{1}{f'(0)}x$:

$y = -1 - \frac{2}{3}x$.

Ответ: уравнение касательной: $y = \frac{3}{2}x - 1$; уравнение нормали: $y = -\frac{2}{3}x - 1$.

2) $y = \sqrt{3x+1}$

1. Находим $y_0$ при $x_0 = 0$:

$y_0 = f(0) = \sqrt{3(0)+1} = 1$.

Точка касания: $(0; 1)$.

2. Находим производную:

$f'(x) = (\sqrt{3x+1})' = \frac{1}{2\sqrt{3x+1}} \cdot (3x+1)' = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$.

3. Вычисляем угловой коэффициент касательной $k_{кас}$ в точке $x_0=0$:

$k_{кас} = f'(0) = \frac{3}{2\sqrt{3(0)+1}} = \frac{3}{2}$.

4. Уравнение касательной:

$y = 1 + \frac{3}{2}x$.

5. Угловой коэффициент нормали:

$k_{норм} = -\frac{1}{k_{кас}} = -\frac{1}{3/2} = -\frac{2}{3}$.

6. Уравнение нормали:

$y = 1 - \frac{2}{3}x$.

Ответ: уравнение касательной: $y = \frac{3}{2}x + 1$; уравнение нормали: $y = -\frac{2}{3}x + 1$.

3) $y = 1 + \frac{1}{x+2}$

1. Находим $y_0$ при $x_0 = 0$:

$y_0 = f(0) = 1 + \frac{1}{0+2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

Точка касания: $(0; \frac{3}{2})$.

2. Находим производную:

$f'(x) = (1 + \frac{1}{x+2})' = (1 + (x+2)^{-1})' = -(x+2)^{-2} = -\frac{1}{(x+2)^2}$.

3. Вычисляем угловой коэффициент касательной $k_{кас}$ в точке $x_0=0$:

$k_{кас} = f'(0) = -\frac{1}{(0+2)^2} = -\frac{1}{4}$.

4. Уравнение касательной:

$y = \frac{3}{2} - \frac{1}{4}x$.

5. Угловой коэффициент нормали:

$k_{норм} = -\frac{1}{k_{кас}} = -\frac{1}{-1/4} = 4$.

6. Уравнение нормали:

$y = \frac{3}{2} + 4x$.

Ответ: уравнение касательной: $y = -\frac{1}{4}x + \frac{3}{2}$; уравнение нормали: $y = 4x + \frac{3}{2}$.

4) $y = \frac{1}{\sqrt{1-x}}$

1. Находим $y_0$ при $x_0 = 0$:

$y_0 = f(0) = \frac{1}{\sqrt{1-0}} = 1$.

Точка касания: $(0; 1)$.

2. Находим производную. Удобнее представить функцию как $f(x) = (1-x)^{-1/2}$:

$f'(x) = ((1-x)^{-1/2})' = -\frac{1}{2}(1-x)^{-3/2} \cdot (-1) = \frac{1}{2(1-x)^{3/2}}$.

3. Вычисляем угловой коэффициент касательной $k_{кас}$ в точке $x_0=0$:

$k_{кас} = f'(0) = \frac{1}{2(1-0)^{3/2}} = \frac{1}{2}$.

4. Уравнение касательной:

$y = 1 + \frac{1}{2}x$.

5. Угловой коэффициент нормали:

$k_{норм} = -\frac{1}{k_{кас}} = -\frac{1}{1/2} = -2$.

6. Уравнение нормали:

$y = 1 - 2x$.

Ответ: уравнение касательной: $y = \frac{1}{2}x + 1$; уравнение нормали: $y = -2x + 1$.