Номер 32, страница 145, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

32. Исследуйте функцию и постройте ее график:

1) $y = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 3$;

2) $y = x^3 - 3x^2 + 1$;

3) $y = x + \frac{2}{x}$;

4) $y = \frac{3}{x} - \frac{x}{3}$.

1) $y = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 3$

1. Область определения.

Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел.$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.

$y(-x) = 2(-x)^3 - 9(-x)^2 + 12(-x) - 3 = -2x^3 - 9x^2 - 12x - 3$.

Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

3. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью OY: при $x=0$, $y = 2(0)^3 - 9(0)^2 + 12(0) - 3 = -3$. Точка пересечения $(0, -3)$.

Пересечение с осью OX: при $y=0$, $2x^3 - 9x^2 + 12x - 3 = 0$. Это кубическое уравнение, которое сложно решить аналитически. Из анализа функции мы найдем примерное расположение корней.

4. Асимптоты.

Вертикальных асимптот нет, так как функция определена на всей числовой прямой.

Наклонные (и горизонтальные) асимптоты вида $y = kx + b$ отсутствуют, так как $\lim_{x \to \pm\infty} y(x) = \pm\infty$.

5. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.

Находим первую производную: $y' = (2x^3 - 9x^2 + 12x - 3)' = 6x^2 - 18x + 12$.

Приравниваем производную к нулю для поиска критических точек: $6x^2 - 18x + 12 = 0$, или $x^2 - 3x + 2 = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; 1)$, $(1; 2)$ и $(2; +\infty)$.

- При $x < 1$ (например, $x=0$), $y' = 6(0-1)(0-2) = 12 > 0$, функция возрастает.

- При $1 < x < 2$ (например, $x=1.5$), $y' = 6(1.5-1)(1.5-2) < 0$, функция убывает.

- При $x > 2$ (например, $x=3$), $y' = 6(3-1)(3-2) = 12 > 0$, функция возрастает.

В точке $x=1$ производная меняет знак с $+$ на $-$, следовательно, это точка локального максимума. $y_{max} = y(1) = 2(1)^3 - 9(1)^2 + 12(1) - 3 = 2$. Точка максимума $(1, 2)$.

В точке $x=2$ производная меняет знак с $-$ на $+$, следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = y(2) = 2(2)^3 - 9(2)^2 + 12(2) - 3 = 16 - 36 + 24 - 3 = 1$. Точка минимума $(2, 1)$.

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

Находим вторую производную: $y'' = (6x^2 - 18x + 12)' = 12x - 18$.

Приравниваем вторую производную к нулю: $12x - 18 = 0 \Rightarrow x = 1.5$.

- При $x < 1.5$, $y'' < 0$, график функции выпуклый (выпуклость вверх).

- При $x > 1.5$, $y'' > 0$, график функции вогнутый (выпуклость вниз).

В точке $x=1.5$ происходит смена направления выпуклости, значит, это точка перегиба. $y(1.5) = 2(1.5)^3 - 9(1.5)^2 + 12(1.5) - 3 = 1.5$. Точка перегиба $(1.5, 1.5)$.

7. Построение графика.

На основе проведенного исследования строим график. Ключевые точки: пересечение с OY $(0, -3)$, максимум $(1, 2)$, минимум $(2, 1)$, точка перегиба $(1.5, 1.5)$.

Ответ: Функция определена на всей числовой прямой. Точка пересечения с осью OY: $(0, -3)$. Функция возрастает на интервалах $(-\infty; 1)$ и $(2; +\infty)$, убывает на интервале $(1; 2)$. Точка локального максимума: $(1; 2)$. Точка локального минимума: $(2; 1)$. График функции является выпуклым на $(-\infty; 1.5)$ и вогнутым на $(1.5; +\infty)$. Точка перегиба: $(1.5; 1.5)$. Асимптот нет.

2) $y = x^3 - 3x^2 + 1$

1. Область определения.

Функция является многочленом, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.

$y(-x) = (-x)^3 - 3(-x)^2 + 1 = -x^3 - 3x^2 + 1$. Функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью OY: при $x=0$, $y=1$. Точка $(0, 1)$.

Пересечение с осью OX: $x^3 - 3x^2 + 1 = 0$. Корни этого уравнения найти точно сложно.

4. Асимптоты.

Вертикальных и наклонных асимптот нет, так как это многочлен.

5. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.

Первая производная: $y' = (x^3 - 3x^2 + 1)' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$.

Критические точки ($y'=0$): $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.

- При $x < 0$, $y' > 0$, функция возрастает.

- При $0 < x < 2$, $y' < 0$, функция убывает.

- При $x > 2$, $y' > 0$, функция возрастает.

$x=0$ - точка максимума. $y_{max} = y(0) = 1$. Точка $(0, 1)$.

$x=2$ - точка минимума. $y_{min} = y(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 1 = 8 - 12 + 1 = -3$. Точка $(2, -3)$.

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

Вторая производная: $y'' = (3x^2 - 6x)' = 6x - 6 = 6(x-1)$.

Точка возможного перегиба ($y''=0$): $x=1$.

- При $x < 1$, $y'' < 0$, график выпуклый.

- При $x > 1$, $y'' > 0$, график вогнутый.

$x=1$ - точка перегиба. $y(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 1 = -1$. Точка перегиба $(1, -1)$.

7. Построение графика.

Ключевые точки для построения: максимум $(0, 1)$, минимум $(2, -3)$, точка перегиба $(1, -1)$.

Ответ: Функция определена на всей числовой прямой. Точка пересечения с осью OY: $(0, 1)$. Функция возрастает на $(-\infty; 0)$ и $(2; +\infty)$, убывает на $(0; 2)$. Точка максимума: $(0, 1)$. Точка минимума: $(2, -3)$. График выпуклый на $(-\infty; 1)$ и вогнутый на $(1; +\infty)$. Точка перегиба: $(1, -1)$. Асимптот нет.

3) $y = x + \frac{2}{x}$

1. Область определения.

Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.

$y(-x) = -x + \frac{2}{-x} = -x - \frac{2}{x} = -(x + \frac{2}{x}) = -y(x)$.

Функция нечетная. График симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью OY пересечения нет, так как $x \neq 0$.

С осью OX: $x + \frac{2}{x} = 0 \Rightarrow \frac{x^2+2}{x} = 0$. Уравнение $x^2+2=0$ не имеет действительных корней. Пересечений с осью OX нет.

4. Асимптоты.

- Вертикальная асимптота: $x=0$.$\lim_{x \to 0^+} (x + \frac{2}{x}) = +\infty$, $\lim_{x \to 0^-} (x + \frac{2}{x}) = -\infty$.

- Наклонная асимптота: $y = kx+b$.

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{y(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x + 2/x}{x} = \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{2}{x^2}) = 1$.

$b = \lim_{x \to \infty} (y(x) - kx) = \lim_{x \to \infty} (x + \frac{2}{x} - x) = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} = 0$.

Наклонная асимптота: $y = x$.

5. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.

$y' = (x + 2x^{-1})' = 1 - 2x^{-2} = 1 - \frac{2}{x^2} = \frac{x^2-2}{x^2}$.

Критические точки ($y'=0$): $x^2-2=0 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}$.

- При $x \in (-\infty; -\sqrt{2})$, $y' > 0$, функция возрастает.

- При $x \in (-\sqrt{2}; 0)$, $y' < 0$, функция убывает.

- При $x \in (0; \sqrt{2})$, $y' < 0$, функция убывает.

- При $x \in (\sqrt{2}; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

$x=-\sqrt{2}$ - точка максимума. $y_{max} = -\sqrt{2} + \frac{2}{-\sqrt{2}} = -2\sqrt{2}$. Точка $(-\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$.

$x=\sqrt{2}$ - точка минимума. $y_{min} = \sqrt{2} + \frac{2}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$. Точка $(\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$.

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

$y'' = (1 - 2x^{-2})' = 4x^{-3} = \frac{4}{x^3}$.

Вторая производная нигде не равна нулю. Точек перегиба нет.

- При $x < 0$, $y'' < 0$, график выпуклый.

- При $x > 0$, $y'' > 0$, график вогнутый.

7. Построение графика.

Строим график, используя асимптоты $x=0$, $y=x$ и точки экстремума.

Ответ: Область определения: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Функция нечетная. Пересечений с осями нет. Вертикальная асимптота $x=0$, наклонная асимптота $y=x$. Функция возрастает на $(-\infty; -\sqrt{2})$ и $(\sqrt{2}; +\infty)$, убывает на $(-\sqrt{2}; 0)$ и $(0; \sqrt{2})$. Точка максимума $(-\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$, точка минимума $(\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$. График выпуклый на $(-\infty; 0)$ и вогнутый на $(0; +\infty)$. Точек перегиба нет.

4) $y = \frac{3}{x} - \frac{x}{3}$

1. Область определения.

$x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.

$y(-x) = \frac{3}{-x} - \frac{-x}{3} = -\frac{3}{x} + \frac{x}{3} = -(\frac{3}{x} - \frac{x}{3}) = -y(x)$.

Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью OY пересечения нет ($x \neq 0$).

С осью OX: $\frac{3}{x} - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow \frac{9-x^2}{3x} = 0 \Rightarrow 9-x^2=0 \Rightarrow x=\pm3$. Точки $(-3, 0)$ и $(3, 0)$.

4. Асимптоты.

- Вертикальная асимптота: $x=0$.$\lim_{x \to 0^+} (\frac{3}{x} - \frac{x}{3}) = +\infty$, $\lim_{x \to 0^-} (\frac{3}{x} - \frac{x}{3}) = -\infty$.

- Наклонная асимптота: $y=kx+b$.

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{y(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} (\frac{3}{x^2} - \frac{1}{3}) = -\frac{1}{3}$.

$b = \lim_{x \to \infty} (y(x) - kx) = \lim_{x \to \infty} (\frac{3}{x} - \frac{x}{3} - (-\frac{1}{3})x) = \lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} = 0$.

Наклонная асимптота: $y = -\frac{1}{3}x$.

5. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.

$y' = (3x^{-1} - \frac{x}{3})' = -3x^{-2} - \frac{1}{3} = -\frac{3}{x^2} - \frac{1}{3}$.

Так как $x^2 > 0$, то $-\frac{3}{x^2} < 0$. Следовательно, $y' = -(\frac{3}{x^2} + \frac{1}{3}) < 0$ для всех $x$ из области определения.Функция убывает на всем протяжении своей области определения: на $(-\infty; 0)$ и на $(0; +\infty)$. Точек экстремума нет.

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

$y'' = (-3x^{-2} - \frac{1}{3})' = 6x^{-3} = \frac{6}{x^3}$.

Точек перегиба нет ($y'' \neq 0$).

- При $x < 0$, $y'' < 0$, график выпуклый.

- При $x > 0$, $y'' > 0$, график вогнутый.

7. Построение графика.

Строим график, используя асимптоты $x=0$, $y = -x/3$ и точки пересечения с осью OX $(-3,0)$ и $(3,0)$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Функция нечетная. Точки пересечения с осью OX: $(-3, 0)$ и $(3, 0)$. Вертикальная асимптота $x=0$, наклонная асимптота $y = -x/3$. Функция убывает на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Точек экстремума нет. График выпуклый на $(-\infty; 0)$ и вогнутый на $(0; +\infty)$. Точек перегиба нет.