Номер 37, страница 146, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

37. Печатный текст на странице книги занимает площадь в $363\text{ см}^2$. Ширина полей этой страницы сверху и снизу составляет по 2 см, ширина боковых полей — по 1,5 см. Каковы должны быть размеры книжной страницы, чтобы площадь ее была наименьшей?

Для решения задачи по оптимизации площади страницы необходимо составить функцию, выражающую эту площадь, и найти ее минимум.

1. Определение переменных и составление уравнений.

Пусть $x$ – ширина печатного текста (в см), а $y$ – высота печатного текста (в см).По условию, площадь печатного текста составляет 363 см²:$x \cdot y = 363$

Теперь определим размеры всей страницы.Ширина страницы $W$ складывается из ширины текста и двух боковых полей по 1,5 см:$W = x + 1.5 + 1.5 = x + 3$

Высота страницы $H$ складывается из высоты текста и верхнего и нижнего полей по 2 см:$H = y + 2 + 2 = y + 4$

Площадь всей страницы $S$ равна произведению ее ширины и высоты:$S = W \cdot H = (x + 3)(y + 4)$

2. Создание функции одной переменной.

Чтобы найти минимум функции площади $S$, нужно выразить ее через одну переменную. Из уравнения для площади текста выразим $y$ через $x$:$y = \frac{363}{x}$

Подставим это выражение в формулу для площади страницы:$S(x) = (x + 3)(\frac{363}{x} + 4)$

Раскроем скобки, чтобы упростить выражение:$S(x) = x \cdot \frac{363}{x} + 4x + 3 \cdot \frac{363}{x} + 3 \cdot 4$$S(x) = 363 + 4x + \frac{1089}{x} + 12$$S(x) = 4x + \frac{1089}{x} + 375$

3. Нахождение минимума функции.

Для нахождения точки минимума найдем производную функции $S(x)$ и приравняем ее к нулю.$S'(x) = (4x + 1089x^{-1} + 375)' = 4 - 1089x^{-2} = 4 - \frac{1089}{x^2}$

Приравняем производную к нулю:$S'(x) = 0 \implies 4 - \frac{1089}{x^2} = 0$$4 = \frac{1089}{x^2}$$4x^2 = 1089$$x^2 = \frac{1089}{4}$$x = \sqrt{\frac{1089}{4}}$ (берем только положительный корень, так как ширина не может быть отрицательной)$x = \frac{33}{2} = 16.5$ см.

Это значение $x$ является точкой минимума (проверка по второй производной: $S''(x) = \frac{2178}{x^3} > 0$ при $x>0$, что подтверждает минимум).

4. Расчет размеров страницы.

Мы нашли оптимальную ширину печатного текста $x = 16.5$ см. Теперь найдем соответствующую высоту текста $y$:$y = \frac{363}{x} = \frac{363}{16.5} = 22$ см.

Осталось найти размеры всей книжной страницы:Ширина страницы: $W = x + 3 = 16.5 + 3 = 19.5$ см.Высота страницы: $H = y + 4 = 22 + 4 = 26$ см.

Ответ: Чтобы площадь книжной страницы была наименьшей, ее размеры должны быть 19,5 см в ширину и 26 см в высоту.