Номер 41, страница 146, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*41. К графику функции $y = 6x - x^2$ проведены две касательные. Одна касательная в точке графика функции с абсциссой $x_0 = -2$, другая — в точке максимума данной функции. Найдите площадь треугольника, образованного двумя этими касательными и осью ординат.

Для решения задачи необходимо выполнить несколько шагов: найти уравнения двух касательных, определить вершины треугольника, образованного этими касательными и осью ординат, и, наконец, вычислить его площадь.

1. Нахождение уравнения первой касательной

Первая касательная проведена к графику функции $y = 6x - x^2$ в точке с абсциссой $x_0 = -2$.

Уравнение касательной в общем виде: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$, где $f(x) = 6x - x^2$.

Сначала найдем производную функции:

$f'(x) = (6x - x^2)' = 6 - 2x$.

Теперь вычислим значение функции и ее производной в точке $x_0 = -2$:

$f(-2) = 6(-2) - (-2)^2 = -12 - 4 = -16$.

$f'(-2) = 6 - 2(-2) = 6 + 4 = 10$.

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = -16 + 10(x - (-2))$

$y = -16 + 10(x + 2)$

$y = -16 + 10x + 20$

$y = 10x + 4$.

Это уравнение первой касательной.

2. Нахождение уравнения второй касательной

Вторая касательная проведена в точке максимума функции $y = 6x - x^2$.

Чтобы найти точку максимума, приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$6 - 2x = 0$

$2x = 6$

$x = 3$.

Это абсцисса точки максимума (поскольку вторая производная $f''(x) = -2 < 0$, это действительно максимум).

Теперь найдем координаты точки касания. Абсцисса $x_1 = 3$.

Ордината: $f(3) = 6(3) - 3^2 = 18 - 9 = 9$.

Наклон касательной в точке максимума равен значению производной в этой точке: $f'(3) = 6 - 2(3) = 0$.

Уравнение второй касательной:

$y = f(3) + f'(3)(x - 3)$

$y = 9 + 0(x - 3)$

$y = 9$.

Это уравнение второй касательной (горизонтальная прямая).

3. Нахождение вершин треугольника

Треугольник образован тремя прямыми:

1. Первая касательная: $y = 10x + 4$

2. Вторая касательная: $y = 9$

3. Ось ординат: $x = 0$

Найдем вершины треугольника как точки пересечения этих прямых.

Вершина A (пересечение двух касательных):

Приравняем уравнения $y = 10x + 4$ и $y = 9$:

$10x + 4 = 9$

$10x = 5$

$x = 0.5$.

Координата $y$ равна 9. Таким образом, вершина A имеет координаты $(0.5, 9)$.

Вершина B (пересечение первой касательной с осью ординат):

Подставим $x = 0$ в уравнение $y = 10x + 4$:

$y = 10(0) + 4 = 4$.

Вершина B имеет координаты $(0, 4)$.

Вершина C (пересечение второй касательной с осью ординат):

Подставим $x = 0$ в уравнение $y = 9$:

$y = 9$.

Вершина C имеет координаты $(0, 9)$.

4. Вычисление площади треугольника

Мы получили треугольник с вершинами A(0.5, 9), B(0, 4), C(0, 9).

За основание треугольника можно взять отрезок BC, который лежит на оси ординат. Длина этого основания равна разности y-координат точек C и B:

$b = |9 - 4| = 5$.

Высота треугольника, проведенная из вершины A к основанию BC (лежащему на оси Y), равна перпендикулярному расстоянию от точки A до оси Y. Это расстояние равно абсциссе точки A.

$h = 0.5$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h$

$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 0.5 = \frac{1}{2} \cdot 2.5 = 1.25$.

Ответ: 1.25.