Номер 40, страница 146, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

40. 1) Число 16 представьте в виде произведения двух положительных чисел, значение суммы квадратов которых будет наименьшим.

2) Число 32 представлено в виде произведения двух положительных множителей. Найдите значения этих множителей, чтобы значение суммы одного из них на квадратный корень из другого было наименьшим.

1) Пусть два положительных числа это $x$ и $y$. По условию задачи, их произведение равно 16, а сами числа являются положительными:

$x \cdot y = 16$, где $x > 0$ и $y > 0$.

Требуется найти наименьшее значение суммы их квадратов. Обозначим эту сумму как $S$:

$S = x^2 + y^2$.

Чтобы найти минимум, выразим одну переменную через другую. Из первого уравнения получаем $y = \frac{16}{x}$. Подставим это выражение в формулу для суммы $S$, чтобы получить функцию одной переменной $x$:

$S(x) = x^2 + \left(\frac{16}{x}\right)^2 = x^2 + \frac{256}{x^2}$.

Для нахождения наименьшего значения функции найдем ее производную по $x$ и приравняем ее к нулю.

$S'(x) = \left(x^2 + 256x^{-2}\right)' = 2x - 2 \cdot 256x^{-3} = 2x - \frac{512}{x^3}$.

Приравняем производную к нулю для поиска критических точек:

$2x - \frac{512}{x^3} = 0$

$2x = \frac{512}{x^3}$

$2x^4 = 512$

$x^4 = 256$

Поскольку по условию $x$ — положительное число, мы берем только положительный корень: $x = \sqrt[4]{256} = 4$.

Чтобы убедиться, что $x=4$ является точкой минимума, воспользуемся второй производной:

$S''(x) = \left(2x - 512x^{-3}\right)' = 2 - 512(-3)x^{-4} = 2 + \frac{1536}{x^4}$.

При $x=4$ значение второй производной $S''(4) = 2 + \frac{1536}{4^4} = 2 + \frac{1536}{256} = 2 + 6 = 8$.

Так как $S''(4) > 0$, точка $x=4$ действительно является точкой минимума.

Теперь найдем соответствующее значение $y$:

$y = \frac{16}{x} = \frac{16}{4} = 4$.

Следовательно, число 16 нужно представить в виде произведения чисел 4 и 4, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

Ответ: 4 и 4.

2) Пусть два положительных множителя это $x$ и $y$. По условию, их произведение равно 32:

$x \cdot y = 32$, где $x > 0$ и $y > 0$.

Нам нужно найти такие значения множителей, чтобы сумма одного из них и квадратного корня из другого была наименьшей. Обозначим эту сумму как $S$. Существует два варианта для этой суммы: $S_1 = x + \sqrt{y}$ или $S_2 = y + \sqrt{x}$. Найдем значение, которое минимизирует эту сумму.

Рассмотрим первый случай, минимизацию функции $S_1(x) = x + \sqrt{y}$. Выразим $y$ через $x$: $y = \frac{32}{x}$.

$S_1(x) = x + \sqrt{\frac{32}{x}} = x + \sqrt{32}x^{-1/2}$.

Найдем производную этой функции по $x$:

$S_1'(x) = \left(x + \sqrt{32}x^{-1/2}\right)' = 1 + \sqrt{32} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)x^{-3/2} = 1 - \frac{4\sqrt{2}}{2x^{3/2}} = 1 - \frac{2\sqrt{2}}{x^{3/2}}$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$1 - \frac{2\sqrt{2}}{x^{3/2}} = 0 \implies x^{3/2} = 2\sqrt{2} = \sqrt{8}$.

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в квадрат:

$\left(x^{3/2}\right)^2 = (\sqrt{8})^2 \implies x^3 = 8$.

Отсюда $x = 2$.

Найдем соответствующее значение $y$:

$y = \frac{32}{x} = \frac{32}{2} = 16$.

В этом случае множители равны 2 и 16, а наименьшее значение суммы составляет $S_1 = x + \sqrt{y} = 2 + \sqrt{16} = 2 + 4 = 6$.

Если бы мы рассматривали второй случай, $S_2 = y + \sqrt{x}$, то аналогичные вычисления привели бы нас к результату $x=16$ и $y=2$. Значение суммы при этом было бы таким же: $S_2 = y + \sqrt{x} = 2 + \sqrt{16} = 6$.

В обоих случаях наименьшее значение суммы равно 6, и оно достигается, когда множителями являются числа 2 и 16.

Ответ: 2 и 16.