Номер 38, страница 146, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

38. Периметр земельного участка в форме прямоугольной трапеции с острым углом в $30^\circ$ равен 24 м. Найдите наибольшую площадь этого участка.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD > BC$) и прямыми углами при вершинах $A$ и $B$. Тогда $AB$ — высота трапеции, а острый угол при вершине $D$ равен $30^\circ$.

Обозначим стороны трапеции:

• $a = AD$ — большее основание
• $b = BC$ — меньшее основание
• $h = AB$ — высота
• $c = CD$ — наклонная боковая сторона

Периметр трапеции $P$ равен сумме длин всех ее сторон:$P = a + b + h + c = 24$ м.

Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле:$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

Чтобы связать стороны трапеции, проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AD$. Получим прямоугольник $ABCH$ и прямоугольный треугольник $CHD$.В прямоугольнике $ABCH$ имеем $CH = AB = h$ и $AH = BC = b$.В прямоугольном треугольнике $CHD$ катет $HD = AD - AH = a - b$. Угол $\angle CDH = 30^\circ$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике $CHD$ находим:

1. $\sin(30^\circ) = \frac{CH}{CD} = \frac{h}{c}$. Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, то $\frac{h}{c} = \frac{1}{2}$, откуда $c = 2h$.

2. $\text{tg}(30^\circ) = \frac{CH}{HD} = \frac{h}{a-b}$. Так как $\text{tg}(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, то $\frac{h}{a-b} = \frac{1}{\sqrt{3}}$, откуда $a-b = h\sqrt{3}$.

Теперь подставим выражение для $c$ в формулу периметра:$a + b + h + 2h = 24$

$a + b + 3h = 24$

Отсюда выразим сумму оснований:$a + b = 24 - 3h$.

Подставим это выражение в формулу площади, чтобы получить зависимость площади $S$ только от высоты $h$:$S(h) = \frac{24-3h}{2} \cdot h = 12h - \frac{3}{2}h^2$.

Мы получили квадратичную функцию $S(h) = -\frac{3}{2}h^2 + 12h$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Свое наибольшее значение такая функция принимает в вершине параболы.

Координата вершины параболы $h_0$ находится по формуле $h_0 = -\frac{B}{2A}$, где $A = -\frac{3}{2}$ и $B = 12$:$h_0 = -\frac{12}{2 \cdot (-\frac{3}{2})} = -\frac{12}{-3} = 4$ м.

Таким образом, наибольшая площадь участка будет при высоте $h = 4$ м. Найдем значение этой площади, подставив $h=4$ в функцию $S(h)$:$S_{max} = 12(4) - \frac{3}{2}(4)^2 = 48 - \frac{3}{2} \cdot 16 = 48 - 3 \cdot 8 = 48 - 24 = 24$ м².

Проверим, что при $h=4$ м все стороны трапеции имеют положительную длину:

$h = 4$ м

$c = 2h = 8$ м

$a+b = 24 - 3h = 24 - 12 = 12$ м

$a-b = h\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ м

Из системы $\begin{cases} a+b=12 \\ a-b=4\sqrt{3} \end{cases}$ находим $a = 6+2\sqrt{3} > 0$ и $b = 6-2\sqrt{3} > 0$ (так как $36 > 12$). Все размеры корректны.

Ответ: наибольшая площадь участка равна $24$ м².