Номер 39, страница 146, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

39. В равнобедренный прямоугольный треугольник с длиной катета в $2\sqrt{2}$ см вписан прямоугольник наибольшей площади так, что две его вершины лежат на гипотенузе, две другие — на катетах треугольника. Найдите длины сторон прямоугольника.

Пусть дан равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Катеты треугольника равны: $AC = BC = 2\sqrt{2}$ см. Так как треугольник является равнобедренным и прямоугольным, его острые углы при гипотенузе равны $45^\circ$: $\angle A = \angle B = 45^\circ$.

Найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора:$AB^2 = AC^2 + BC^2 = (2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2 = 8 + 8 = 16$.Следовательно, $AB = \sqrt{16} = 4$ см.

В треугольник вписан прямоугольник $KLMN$ наибольшей площади. Согласно условию, две его вершины ($K$ и $L$) лежат на гипотенузе $AB$, а две другие ($M$ и $N$) — на катетах $BC$ и $AC$ соответственно. Это означает, что одна из сторон прямоугольника ($KL$) лежит на гипотенузе треугольника.

Проведем высоту $CD$ из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$. В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная к основанию (гипотенузе), является также медианой. Длина этой высоты равна половине длины гипотенузы:$CD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.

Пусть высота вписанного прямоугольника (длины сторон $ML$ и $NK$, которые перпендикулярны гипотенузе) равна $x$. Пусть ширина прямоугольника (длина стороны $MN$, которая параллельна гипотенузе) равна $y$. Сторона $MN$ отсекает от исходного треугольника малый треугольник $NMC$. Так как сторона $MN$ параллельна гипотенузе $AB$, треугольник $NMC$ подобен треугольнику $ABC$.

Высота треугольника $NMC$, проведенная из вершины $C$ к стороне $MN$, будет равна разности высоты $CD$ всего треугольника и высоты прямоугольника $x$. То есть, ее длина составляет $2-x$. Из подобия треугольников $NMC$ и $ABC$ следует, что отношение их оснований (сторон $MN$ и $AB$) равно отношению их высот:$\frac{MN}{AB} = \frac{\text{высота } \triangle NMC}{\text{высота } \triangle ABC}$Подставим известные значения и переменные ($MN = y$, $AB = 4$, высота $\triangle NMC = 2-x$, высота $\triangle ABC = CD = 2$):$\frac{y}{4} = \frac{2-x}{2}$Выразим ширину прямоугольника $y$ через его высоту $x$:$y = 4 \cdot \frac{2-x}{2} = 2(2-x) = 4 - 2x$.

Площадь прямоугольника $S$ является произведением его сторон:$S(x) = x \cdot y = x(4 - 2x) = 4x - 2x^2$.

Чтобы найти стороны прямоугольника с наибольшей площадью, необходимо найти значение $x$, при котором функция $S(x) = -2x^2 + 4x$ достигает своего максимума. Эта функция является квадратичной, ее график — парабола с ветвями, направленными вниз. Максимальное значение достигается в вершине параболы. Абсцисса вершины параболы вида $f(x)=ax^2+bx+c$ находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.Для нашей функции $a=-2$ и $b=4$.$x = -\frac{4}{2 \cdot (-2)} = -\frac{4}{-4} = 1$.Это значение высоты $x=1$ см находится в допустимом интервале $(0, 2)$, так как высота прямоугольника не может быть отрицательной или большей, чем высота треугольника $CD$.

Итак, одна из сторон прямоугольника (его высота), при которой площадь максимальна, равна $1$ см.Теперь найдем длину второй стороны (ширины):$y = 4 - 2x = 4 - 2 \cdot 1 = 2$ см.

Таким образом, стороны прямоугольника наибольшей площади равны $1$ см и $2$ см.

Ответ: длины сторон прямоугольника равны 1 см и 2 см.