Номер 30, страница 144, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

30. Дан график функции $y = f(x)$ (рис. 1). По графику функции найдите:

1) точки, в которых $f'(x) = 0$;

2) промежутки, в которых $f'(x) > 0$;

3) промежутки, в которых $f'(x) < 0$;

4) число точек перегиба графика функции;

5) точки экстремума функции.

1) точки, в которых $f'(x) = 0$

Производная функции $f'(x)$ равна нулю в точках экстремума (локальных максимумов и минимумов), так как в этих точках касательная к графику функции горизонтальна. Из графика видно, что у функции есть три локальных максимума (вершины "холмов") в точках A, D, F и два локальных минимума (впадины) в точках B и E. Абсциссы этих точек — $a$, $d$, $f$ для максимумов и $b$, $e$ для минимумов.

Ответ: $a, b, d, e, f$.

2) промежутки, в которых $f'(x) > 0$

Неравенство $f'(x) > 0$ выполняется на тех промежутках, где функция $y = f(x)$ возрастает. По графику определяем, что функция возрастает на следующих интервалах:

• от минус бесконечности до точки максимума A (с абсциссой $a$);
• от точки минимума B (с абсциссой $b$) до точки максимума D (с абсциссой $d$);
• от точки минимума E (с абсциссой $e$) до точки максимума F (с абсциссой $f$).

Ответ: $(-\infty; a)$, $(b; d)$, $(e; f)$.

3) промежутки, в которых $f'(x) < 0$

Неравенство $f'(x) < 0$ выполняется на тех промежутках, где функция $y = f(x)$ убывает. По графику определяем, что функция убывает на следующих интервалах:

• от точки максимума A (с абсциссой $a$) до точки минимума B (с абсциссой $b$);
• от точки максимума D (с абсциссой $d$) до точки минимума E (с абсциссой $e$);
• от точки максимума F (с абсциссой $f$) и далее вправо до плюс бесконечности.

Ответ: $(a; b)$, $(d; e)$, $(f; +\infty)$.

4) число точек перегиба графика функции

Точка перегиба — это точка на графике, в которой меняется направление выпуклости функции. Проанализируем выпуклость графика:

• В окрестности максимума A график выпуклый вверх (вогнутый), а в окрестности минимума B — выпуклый вниз. Значит, между ними есть точка перегиба.
• В точке C график меняет выпуклость с нижней на верхнюю. Это вторая точка перегиба.
• Между максимумом D (выпуклость вверх) и минимумом E (выпуклость вниз) должна быть третья точка перегиба.
• Между минимумом E (выпуклость вниз) и максимумом F (выпуклость вверх) должна быть четвертая точка перегиба.
• В точке G график меняет направление выпуклости. Это пятая точка перегиба.

Таким образом, на графике можно насчитать 5 точек перегиба.

Ответ: 5.

5) точки экстремума функции.

Точки экстремума — это точки локальных максимумов и минимумов функции. Как было определено в пункте 1, на графике видны следующие экстремумы:

• Точки максимума (вершины): A, D, F, их абсциссы $x=a$, $x=d$, $x=f$.
• Точки минимума (впадины): B, E, их абсциссы $x=b$, $x=e$.

Ответ: Точки максимума: $a, d, f$. Точки минимума: $b, e$.