Номер 29, страница 144, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

29. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке:

1) $f(x) = \frac{x}{8} + \frac{2}{x}$, $x \in [1; 6];$

2) $f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x$, $x \in [0; 3];$

3) $f(x) = x^3 - 12x$, $x \in [-1; 3];$

4) $f(x) = \frac{x}{2x^2 - 1}$, $x \in [-4; -2].$

1) Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $f(x) = \frac{x}{8} + \frac{2}{x}$ на отрезке $[1; 6]$, воспользуемся алгоритмом исследования функции на отрезке.

Шаг 1: Найдем производную функции.

$f'(x) = \left(\frac{x}{8} + \frac{2}{x}\right)' = \frac{1}{8} - \frac{2}{x^2}$.

Шаг 2: Найдем критические точки функции, решив уравнение $f'(x) = 0$.

$\frac{1}{8} - \frac{2}{x^2} = 0$

$\frac{1}{8} = \frac{2}{x^2}$

$x^2 = 16$

$x = 4$ или $x = -4$.

Шаг 3: Выберем критические точки, принадлежащие заданному отрезку $[1; 6]$.

Точка $x = 4$ принадлежит отрезку $[1; 6]$. Точка $x = -4$ не принадлежит этому отрезку.

Шаг 4: Вычислим значения функции в выбранной критической точке и на концах отрезка.

$f(1) = \frac{1}{8} + \frac{2}{1} = \frac{1}{8} + 2 = \frac{17}{8}$.

$f(4) = \frac{4}{8} + \frac{2}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

$f(6) = \frac{6}{8} + \frac{2}{6} = \frac{3}{4} + \frac{1}{3} = \frac{9 + 4}{12} = \frac{13}{12}$.

Шаг 5: Сравним полученные значения.

$1$, $\frac{13}{12} \approx 1.083$, $\frac{17}{8} = 2.125$.

Наименьшее значение функции на отрезке равно $1$, а наибольшее равно $\frac{17}{8}$.

Ответ: наименьшее значение функции $1$, наибольшее значение $\frac{17}{8}$.

2) Найдем наименьшее и наибольшее значения функции $f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x$ на отрезке $[0; 3]$.

Шаг 1: Найдем производную функции.

$f'(x) = \left(\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x\right)' = x^2 - 3x + 2$.

Шаг 2: Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$.

$x^2 - 3x + 2 = 0$.

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Шаг 3: Обе критические точки, $x=1$ и $x=2$, принадлежат отрезку $[0; 3]$.

Шаг 4: Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка.

$f(0) = \frac{0^3}{3} - \frac{3 \cdot 0^2}{2} + 2 \cdot 0 = 0$.

$f(1) = \frac{1^3}{3} - \frac{3 \cdot 1^2}{2} + 2 \cdot 1 = \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2 = \frac{2 - 9 + 12}{6} = \frac{5}{6}$.

$f(2) = \frac{2^3}{3} - \frac{3 \cdot 2^2}{2} + 2 \cdot 2 = \frac{8}{3} - 6 + 4 = \frac{8}{3} - 2 = \frac{2}{3}$.

$f(3) = \frac{3^3}{3} - \frac{3 \cdot 3^2}{2} + 2 \cdot 3 = 9 - \frac{27}{2} + 6 = 15 - 13.5 = 1.5 = \frac{3}{2}$.

Шаг 5: Сравним полученные значения: $0$, $\frac{5}{6}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{3}{2}$.

$0 < \frac{2}{3} < \frac{5}{6} < \frac{3}{2}$.

Наименьшее значение функции равно $0$, а наибольшее равно $\frac{3}{2}$.

Ответ: наименьшее значение функции $0$, наибольшее значение $\frac{3}{2}$.

3) Найдем наименьшее и наибольшее значения функции $f(x) = x^3 - 12x$ на отрезке $[-1; 3]$.

Шаг 1: Найдем производную функции.

$f'(x) = (x^3 - 12x)' = 3x^2 - 12$.

Шаг 2: Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$.

$3x^2 - 12 = 0$

$3x^2 = 12$

$x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.

Шаг 3: Выберем критические точки, принадлежащие отрезку $[-1; 3]$.

Точка $x = 2$ принадлежит отрезку $[-1; 3]$. Точка $x = -2$ не принадлежит этому отрезку.

Шаг 4: Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка.

$f(-1) = (-1)^3 - 12(-1) = -1 + 12 = 11$.

$f(2) = (2)^3 - 12(2) = 8 - 24 = -16$.

$f(3) = (3)^3 - 12(3) = 27 - 36 = -9$.

Шаг 5: Сравним полученные значения: $11$, $-16$, $-9$.

Наименьшее значение функции равно $-16$, а наибольшее равно $11$.

Ответ: наименьшее значение функции $-16$, наибольшее значение $11$.

4) Найдем наименьшее и наибольшее значения функции $f(x) = \frac{x}{2x^2 - 1}$ на отрезке $[-4; -2]$.

Шаг 1: Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного.

$f'(x) = \left(\frac{x}{2x^2 - 1}\right)' = \frac{(x)'(2x^2 - 1) - x(2x^2 - 1)'}{(2x^2 - 1)^2} = \frac{1 \cdot (2x^2 - 1) - x \cdot 4x}{(2x^2 - 1)^2} = \frac{2x^2 - 1 - 4x^2}{(2x^2 - 1)^2} = \frac{-2x^2 - 1}{(2x^2 - 1)^2}$.

Шаг 2: Найдем критические точки. Уравнение $f'(x) = 0$ равносильно уравнению $-2x^2 - 1 = 0$, или $2x^2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней, следовательно, у функции нет критических точек.

Шаг 3: Так как на отрезке $[-4; -2]$ нет критических точек, наименьшее и наибольшее значения достигаются на концах отрезка. Вычислим значения функции на концах отрезка.

$f(-4) = \frac{-4}{2(-4)^2 - 1} = \frac{-4}{2 \cdot 16 - 1} = \frac{-4}{32 - 1} = -\frac{4}{31}$.

$f(-2) = \frac{-2}{2(-2)^2 - 1} = \frac{-2}{2 \cdot 4 - 1} = \frac{-2}{8 - 1} = -\frac{2}{7}$.

Шаг 4: Сравним полученные значения.

Чтобы сравнить дроби $-\frac{4}{31}$ и $-\frac{2}{7}$, приведем их к общему знаменателю $31 \cdot 7 = 217$.

$-\frac{4}{31} = -\frac{4 \cdot 7}{31 \cdot 7} = -\frac{28}{217}$.

$-\frac{2}{7} = -\frac{2 \cdot 31}{7 \cdot 31} = -\frac{62}{217}$.

Так как $-62 < -28$, то $-\frac{62}{217} < -\frac{28}{217}$, следовательно, $-\frac{2}{7} < -\frac{4}{31}$.

Наименьшее значение функции равно $-\frac{2}{7}$, а наибольшее равно $-\frac{4}{31}$.

Ответ: наименьшее значение функции $-\frac{2}{7}$, наибольшее значение $-\frac{4}{31}$.