Страница 145, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

31. Для функции, график которой дан на рисунке 2, запишите:

1) точки минимума функции;

2) точки максимума;

3) экстремумы функции.

Для полного решения задачи необходим график функции (рисунок 2), который не был предоставлен. Ниже приведено общее объяснение, как находить требуемые характеристики по графику функции.

1) точки минимума функции

Точки минимума — это абсциссы (координаты $x$) точек, в которых убывание функции сменяется возрастанием. На графике это соответствует "впадинам". Чтобы их найти, нужно определить $x$-координаты всех самых нижних точек локальных углублений на кривой.

Ответ: Необходимо посмотреть на график и выписать абсциссы ($x$) всех точек, являющихся локальными минимумами ("впадинами").

2) точки максимума

Точки максимума — это абсциссы (координаты $x$) точек, в которых возрастание функции сменяется убыванием. На графике это соответствует "вершинам" или "холмам". Чтобы их найти, нужно определить $x$-координаты всех самых верхних точек локальных подъемов на кривой.

Ответ: Необходимо посмотреть на график и выписать абсциссы ($x$) всех точек, являющихся локальными максимумами ("вершинами").

3) экстремумы функции

Экстремумы функции — это значения функции (координаты $y$) в точках ее локального максимума и минимума. То есть, это сами минимальные и максимальные значения в окрестности. Чтобы их найти, нужно для каждой точки минимума $x_{min}$ и максимума $x_{max}$, найденных в пунктах 1 и 2, определить соответствующее значение функции по оси ординат ($y$). Значение в точке минимума называется минимумом функции ($y_{min}$), а в точке максимума — максимумом функции ($y_{max}$).

Ответ: Необходимо найти значения по оси ординат ($y$) для всех точек минимума и максимума. Это и будут экстремумы функции.

32. Исследуйте функцию и постройте ее график:

1) $y = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 3$;

2) $y = x^3 - 3x^2 + 1$;

3) $y = x + \frac{2}{x}$;

4) $y = \frac{3}{x} - \frac{x}{3}$.

1) $y = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 3$

1. Область определения.

Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел.$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.

$y(-x) = 2(-x)^3 - 9(-x)^2 + 12(-x) - 3 = -2x^3 - 9x^2 - 12x - 3$.

Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

3. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью OY: при $x=0$, $y = 2(0)^3 - 9(0)^2 + 12(0) - 3 = -3$. Точка пересечения $(0, -3)$.

Пересечение с осью OX: при $y=0$, $2x^3 - 9x^2 + 12x - 3 = 0$. Это кубическое уравнение, которое сложно решить аналитически. Из анализа функции мы найдем примерное расположение корней.

4. Асимптоты.

Вертикальных асимптот нет, так как функция определена на всей числовой прямой.

Наклонные (и горизонтальные) асимптоты вида $y = kx + b$ отсутствуют, так как $\lim_{x \to \pm\infty} y(x) = \pm\infty$.

5. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.

Находим первую производную: $y' = (2x^3 - 9x^2 + 12x - 3)' = 6x^2 - 18x + 12$.

Приравниваем производную к нулю для поиска критических точек: $6x^2 - 18x + 12 = 0$, или $x^2 - 3x + 2 = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; 1)$, $(1; 2)$ и $(2; +\infty)$.

- При $x < 1$ (например, $x=0$), $y' = 6(0-1)(0-2) = 12 > 0$, функция возрастает.

- При $1 < x < 2$ (например, $x=1.5$), $y' = 6(1.5-1)(1.5-2) < 0$, функция убывает.

- При $x > 2$ (например, $x=3$), $y' = 6(3-1)(3-2) = 12 > 0$, функция возрастает.

В точке $x=1$ производная меняет знак с $+$ на $-$, следовательно, это точка локального максимума. $y_{max} = y(1) = 2(1)^3 - 9(1)^2 + 12(1) - 3 = 2$. Точка максимума $(1, 2)$.

В точке $x=2$ производная меняет знак с $-$ на $+$, следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = y(2) = 2(2)^3 - 9(2)^2 + 12(2) - 3 = 16 - 36 + 24 - 3 = 1$. Точка минимума $(2, 1)$.

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

Находим вторую производную: $y'' = (6x^2 - 18x + 12)' = 12x - 18$.

Приравниваем вторую производную к нулю: $12x - 18 = 0 \Rightarrow x = 1.5$.

- При $x < 1.5$, $y'' < 0$, график функции выпуклый (выпуклость вверх).

- При $x > 1.5$, $y'' > 0$, график функции вогнутый (выпуклость вниз).

В точке $x=1.5$ происходит смена направления выпуклости, значит, это точка перегиба. $y(1.5) = 2(1.5)^3 - 9(1.5)^2 + 12(1.5) - 3 = 1.5$. Точка перегиба $(1.5, 1.5)$.

7. Построение графика.

На основе проведенного исследования строим график. Ключевые точки: пересечение с OY $(0, -3)$, максимум $(1, 2)$, минимум $(2, 1)$, точка перегиба $(1.5, 1.5)$.

Ответ: Функция определена на всей числовой прямой. Точка пересечения с осью OY: $(0, -3)$. Функция возрастает на интервалах $(-\infty; 1)$ и $(2; +\infty)$, убывает на интервале $(1; 2)$. Точка локального максимума: $(1; 2)$. Точка локального минимума: $(2; 1)$. График функции является выпуклым на $(-\infty; 1.5)$ и вогнутым на $(1.5; +\infty)$. Точка перегиба: $(1.5; 1.5)$. Асимптот нет.

2) $y = x^3 - 3x^2 + 1$

1. Область определения.

Функция является многочленом, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.

$y(-x) = (-x)^3 - 3(-x)^2 + 1 = -x^3 - 3x^2 + 1$. Функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью OY: при $x=0$, $y=1$. Точка $(0, 1)$.

Пересечение с осью OX: $x^3 - 3x^2 + 1 = 0$. Корни этого уравнения найти точно сложно.

4. Асимптоты.

Вертикальных и наклонных асимптот нет, так как это многочлен.

5. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.

Первая производная: $y' = (x^3 - 3x^2 + 1)' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$.

Критические точки ($y'=0$): $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.

- При $x < 0$, $y' > 0$, функция возрастает.

- При $0 < x < 2$, $y' < 0$, функция убывает.

- При $x > 2$, $y' > 0$, функция возрастает.

$x=0$ - точка максимума. $y_{max} = y(0) = 1$. Точка $(0, 1)$.

$x=2$ - точка минимума. $y_{min} = y(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 1 = 8 - 12 + 1 = -3$. Точка $(2, -3)$.

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

Вторая производная: $y'' = (3x^2 - 6x)' = 6x - 6 = 6(x-1)$.

Точка возможного перегиба ($y''=0$): $x=1$.

- При $x < 1$, $y'' < 0$, график выпуклый.

- При $x > 1$, $y'' > 0$, график вогнутый.

$x=1$ - точка перегиба. $y(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 1 = -1$. Точка перегиба $(1, -1)$.

7. Построение графика.

Ключевые точки для построения: максимум $(0, 1)$, минимум $(2, -3)$, точка перегиба $(1, -1)$.

Ответ: Функция определена на всей числовой прямой. Точка пересечения с осью OY: $(0, 1)$. Функция возрастает на $(-\infty; 0)$ и $(2; +\infty)$, убывает на $(0; 2)$. Точка максимума: $(0, 1)$. Точка минимума: $(2, -3)$. График выпуклый на $(-\infty; 1)$ и вогнутый на $(1; +\infty)$. Точка перегиба: $(1, -1)$. Асимптот нет.

3) $y = x + \frac{2}{x}$

1. Область определения.

Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.

$y(-x) = -x + \frac{2}{-x} = -x - \frac{2}{x} = -(x + \frac{2}{x}) = -y(x)$.

Функция нечетная. График симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью OY пересечения нет, так как $x \neq 0$.

С осью OX: $x + \frac{2}{x} = 0 \Rightarrow \frac{x^2+2}{x} = 0$. Уравнение $x^2+2=0$ не имеет действительных корней. Пересечений с осью OX нет.

4. Асимптоты.

- Вертикальная асимптота: $x=0$.$\lim_{x \to 0^+} (x + \frac{2}{x}) = +\infty$, $\lim_{x \to 0^-} (x + \frac{2}{x}) = -\infty$.

- Наклонная асимптота: $y = kx+b$.

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{y(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x + 2/x}{x} = \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{2}{x^2}) = 1$.

$b = \lim_{x \to \infty} (y(x) - kx) = \lim_{x \to \infty} (x + \frac{2}{x} - x) = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} = 0$.

Наклонная асимптота: $y = x$.

5. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.

$y' = (x + 2x^{-1})' = 1 - 2x^{-2} = 1 - \frac{2}{x^2} = \frac{x^2-2}{x^2}$.

Критические точки ($y'=0$): $x^2-2=0 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}$.

- При $x \in (-\infty; -\sqrt{2})$, $y' > 0$, функция возрастает.

- При $x \in (-\sqrt{2}; 0)$, $y' < 0$, функция убывает.

- При $x \in (0; \sqrt{2})$, $y' < 0$, функция убывает.

- При $x \in (\sqrt{2}; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

$x=-\sqrt{2}$ - точка максимума. $y_{max} = -\sqrt{2} + \frac{2}{-\sqrt{2}} = -2\sqrt{2}$. Точка $(-\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$.

$x=\sqrt{2}$ - точка минимума. $y_{min} = \sqrt{2} + \frac{2}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$. Точка $(\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$.

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

$y'' = (1 - 2x^{-2})' = 4x^{-3} = \frac{4}{x^3}$.

Вторая производная нигде не равна нулю. Точек перегиба нет.

- При $x < 0$, $y'' < 0$, график выпуклый.

- При $x > 0$, $y'' > 0$, график вогнутый.

7. Построение графика.

Строим график, используя асимптоты $x=0$, $y=x$ и точки экстремума.

Ответ: Область определения: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Функция нечетная. Пересечений с осями нет. Вертикальная асимптота $x=0$, наклонная асимптота $y=x$. Функция возрастает на $(-\infty; -\sqrt{2})$ и $(\sqrt{2}; +\infty)$, убывает на $(-\sqrt{2}; 0)$ и $(0; \sqrt{2})$. Точка максимума $(-\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$, точка минимума $(\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$. График выпуклый на $(-\infty; 0)$ и вогнутый на $(0; +\infty)$. Точек перегиба нет.

4) $y = \frac{3}{x} - \frac{x}{3}$

1. Область определения.

$x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.

$y(-x) = \frac{3}{-x} - \frac{-x}{3} = -\frac{3}{x} + \frac{x}{3} = -(\frac{3}{x} - \frac{x}{3}) = -y(x)$.

Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью OY пересечения нет ($x \neq 0$).

С осью OX: $\frac{3}{x} - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow \frac{9-x^2}{3x} = 0 \Rightarrow 9-x^2=0 \Rightarrow x=\pm3$. Точки $(-3, 0)$ и $(3, 0)$.

4. Асимптоты.

- Вертикальная асимптота: $x=0$.$\lim_{x \to 0^+} (\frac{3}{x} - \frac{x}{3}) = +\infty$, $\lim_{x \to 0^-} (\frac{3}{x} - \frac{x}{3}) = -\infty$.

- Наклонная асимптота: $y=kx+b$.

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{y(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} (\frac{3}{x^2} - \frac{1}{3}) = -\frac{1}{3}$.

$b = \lim_{x \to \infty} (y(x) - kx) = \lim_{x \to \infty} (\frac{3}{x} - \frac{x}{3} - (-\frac{1}{3})x) = \lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} = 0$.

Наклонная асимптота: $y = -\frac{1}{3}x$.

5. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.

$y' = (3x^{-1} - \frac{x}{3})' = -3x^{-2} - \frac{1}{3} = -\frac{3}{x^2} - \frac{1}{3}$.

Так как $x^2 > 0$, то $-\frac{3}{x^2} < 0$. Следовательно, $y' = -(\frac{3}{x^2} + \frac{1}{3}) < 0$ для всех $x$ из области определения.Функция убывает на всем протяжении своей области определения: на $(-\infty; 0)$ и на $(0; +\infty)$. Точек экстремума нет.

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

$y'' = (-3x^{-2} - \frac{1}{3})' = 6x^{-3} = \frac{6}{x^3}$.

Точек перегиба нет ($y'' \neq 0$).

- При $x < 0$, $y'' < 0$, график выпуклый.

- При $x > 0$, $y'' > 0$, график вогнутый.

7. Построение графика.

Строим график, используя асимптоты $x=0$, $y = -x/3$ и точки пересечения с осью OX $(-3,0)$ и $(3,0)$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Функция нечетная. Точки пересечения с осью OX: $(-3, 0)$ и $(3, 0)$. Вертикальная асимптота $x=0$, наклонная асимптота $y = -x/3$. Функция убывает на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Точек экстремума нет. График выпуклый на $(-\infty; 0)$ и вогнутый на $(0; +\infty)$. Точек перегиба нет.

33. Дан график производной функции $f'(x)$ (рис. 3).

Найдите точки максимума и точки минимума функции.

Для нахождения точек максимума и минимума функции $f(x)$ по графику её производной $f'(x)$ необходимо проанализировать поведение графика $f'(x)$ относительно оси абсцисс ($Ox$). Точки экстремума (максимумы и минимумы) функции $f(x)$ находятся в тех точках, где её производная $f'(x)$ равна нулю, и при этом происходит смена знака производной.

Точки максимума

Точка максимума функции $f(x)$ — это точка, в которой производная $f'(x)$ меняет свой знак с плюса на минус. Это означает, что до этой точки функция $f(x)$ возрастала (поскольку $f'(x) > 0$), а после неё — убывает (поскольку $f'(x) < 0$). На графике производной это соответствует точке пересечения с осью $Ox$, где график переходит из положительной области (выше оси $Ox$) в отрицательную (ниже оси $Ox$).

Таким образом, для нахождения точек максимума нужно найти на графике (рис. 3) абсциссы точек, в которых он пересекает ось $Ox$, двигаясь сверху вниз.

Точки минимума

Точка минимума функции $f(x)$ — это точка, в которой производная $f'(x)$ меняет свой знак с минуса на плюс. Это означает, что до этой точки функция $f(x)$ убывала (поскольку $f'(x) < 0$), а после неё — возрастает (поскольку $f'(x) > 0$). На графике производной это соответствует точке пересечения с осью $Ox$, где график переходит из отрицательной области (ниже оси $Ox$) в положительную (выше оси $Ox$).

Таким образом, для нахождения точек минимума нужно найти на графике (рис. 3) абсциссы точек, в которых он пересекает ось $Ox$, двигаясь снизу вверх.

Решение

В условии задачи говорится о графике производной (рис. 3), однако сам рисунок отсутствует. Без визуального представления графика $f'(x)$ невозможно определить конкретные точки, в которых производная равна нулю, и проанализировать смену её знака. Следовательно, найти точки максимума и минимума функции $f(x)$ не представляется возможным.

Ответ: Для решения задачи необходим график производной функции $f'(x)$ (рис. 3), который не предоставлен в условии.

34. Материальная точка движется прямолинейно по закону $s = 12t^2 - \frac{3}{2}t$, где $s(t)$ — длина пути в метрах, $t$ — время в секундах. В какой момент времени из промежутка $[4;10]$ скорость движения точки будет наибольшей и чему равна величина этой скорости?

Закон движения материальной точки задан формулой $s(t) = 12t^2 - \frac{3}{2}t$, где $s(t)$ — путь в метрах, а $t$ — время в секундах.

Скорость движения $v(t)$ является первой производной от функции пути $s(t)$ по времени $t$. Найдем функцию скорости:

$v(t) = s'(t) = (12t^2 - \frac{3}{2}t)'$

Используя правила дифференцирования, получаем:

$v(t) = 2 \cdot 12t^{2-1} - \frac{3}{2}t^{1-1} = 24t - \frac{3}{2}$

Теперь нам необходимо найти наибольшее значение функции скорости $v(t) = 24t - \frac{3}{2}$ на заданном промежутке времени $t \in [4; 10]$.

Чтобы определить, как ведет себя функция на этом отрезке, найдем ее производную (которая представляет собой ускорение $a(t)$):

$a(t) = v'(t) = (24t - \frac{3}{2})' = 24$

Поскольку производная $v'(t) = 24$ является положительной константой ($24 > 0$), функция скорости $v(t)$ монотонно возрастает на всей своей области определения, включая промежуток $[4; 10]$.

Для монотонно возрастающей функции на замкнутом интервале ее наибольшее значение достигается на правом конце этого интервала.

Следовательно, наибольшая скорость будет в момент времени $t = 10$ с.

Теперь вычислим значение этой скорости, подставив $t=10$ в уравнение для $v(t)$:

$v(10) = 24 \cdot 10 - \frac{3}{2} = 240 - 1.5 = 238.5$ (м/с).

Ответ: Наибольшая скорость достигается в момент времени $t=10$ с и ее величина равна $238.5$ м/с.

35. Проволоку длиной 80 см требуется согнуть в прямоугольник так, чтобы площадь этого прямоугольника была максимальной. Найдите длины сторон этого прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Длина проволоки, равная 80 см, является периметром этого прямоугольника.

Периметр $P$ прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. Согласно условию задачи:$2(a + b) = 80$Разделив обе части на 2, получим:$a + b = 40$

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. Нам необходимо найти такое соотношение сторон, при котором площадь будет максимальной.

Выразим одну из сторон через другую, используя соотношение для периметра. Например, выразим $b$ через $a$:$b = 40 - a$

Теперь подставим это выражение в формулу для площади, чтобы получить функцию площади, зависящую от одной переменной $a$:$S(a) = a \cdot (40 - a) = 40a - a^2$

Функция $S(a) = -a^2 + 40a$ является квадратичной. Ее график — это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $a^2$ отрицательный (равен -1). Максимальное значение такой функции достигается в ее вершине.

Абсцисса вершины параболы, заданной уравнением $y = Ax^2 + Bx + C$, находится по формуле $x_0 = -\frac{B}{2A}$.В нашем случае $A = -1$ и $B = 40$. Найдем значение $a$, при котором площадь $S$ максимальна:$a = -\frac{40}{2 \cdot (-1)} = -\frac{40}{-2} = 20$

Итак, одна из сторон прямоугольника равна 20 см. Найдем вторую сторону:$b = 40 - a = 40 - 20 = 20$ см.

Таким образом, для получения максимальной площади прямоугольник должен быть квадратом со стороной 20 см.

Ответ: длины сторон прямоугольника должны быть 20 см и 20 см.

36. 1) Найдите наибольшую площадь трапеции, три стороны которой равны $a$.

Рис. 2

Рис. 3

2) Найдите координаты точки $M$ параболы $y = x^2$, ближайшей к точке $A(-1; 2)$.

1) Пусть дана трапеция, у которой три стороны равны $a$. Для того чтобы площадь была наибольшей, трапеция должна быть равнобедренной. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Боковые стороны и меньшее основание равны $a$.

Пусть меньшее основание $CD = a$ и боковые стороны $AD = BC = a$. Обозначим угол при большем основании $\angle DAB = \alpha$. Высота трапеции $h$ равна $a \cdot \sin(\alpha)$. Проекция боковой стороны на большее основание равна $a \cdot \cos(\alpha)$.

Тогда большее основание $AB$ равно $a + 2a \cdot \cos(\alpha)$.

Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{AB + CD}{2} \cdot h = \frac{(a + 2a \cos \alpha) + a}{2} \cdot a \sin \alpha = \frac{2a(1 + \cos \alpha)}{2} \cdot a \sin \alpha = a^2(1 + \cos \alpha)\sin \alpha$.

Чтобы найти наибольшую площадь, исследуем функцию $S(\alpha) = a^2(\sin \alpha + \sin \alpha \cos \alpha) = a^2(\sin \alpha + \frac{1}{2}\sin(2\alpha))$ на максимум. Найдем производную по $\alpha$:

$S'(\alpha) = a^2(\cos \alpha + \cos(2\alpha))$.

Приравняем производную к нулю:

$\cos \alpha + \cos(2\alpha) = 0$

$\cos \alpha + 2\cos^2 \alpha - 1 = 0$

Пусть $t = \cos \alpha$. Так как $\alpha$ - острый угол в трапеции ($0 < \alpha < \pi/2$), то $0 < t < 1$.

$2t^2 + t - 1 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = \frac{-1 + \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{4} = \frac{-1+3}{4} = \frac{1}{2}$ и $t_2 = \frac{-1-3}{4} = -1$.

Условию $0 < t < 1$ удовлетворяет только $t = 1/2$.

Значит, $\cos \alpha = 1/2$, откуда $\alpha = \pi/3 = 60^\circ$.

Это точка максимума, так как вторая производная $S''(\alpha) = a^2(-\sin \alpha - 2\sin(2\alpha))$ при $\alpha=\pi/3$ отрицательна.

Найдем максимальную площадь для этого случая, подставив $\alpha = \pi/3$:

$\sin(\pi/3) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos(\pi/3) = \frac{1}{2}$.

$S_{max1} = a^2(1 + \frac{1}{2})\frac{\sqrt{3}}{2} = a^2 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}a^2$.

Случай 2: Боковые стороны и большее основание равны $a$.

Пусть большее основание $AB = a$ и боковые стороны $AD = BC = a$. Обозначим угол при основании $\angle DAB = \alpha$. Высота трапеции $h = a \sin \alpha$. Проекция боковой стороны на основание равна $a \cos \alpha$.

Меньшее основание $CD = a - 2a \cos \alpha$. Для существования трапеции необходимо, чтобы $CD > 0$, то есть $1 - 2\cos\alpha > 0$, откуда $\cos\alpha < 1/2$, что означает $\alpha > \pi/3$.

Площадь трапеции:

$S = \frac{a + (a - 2a \cos \alpha)}{2} \cdot a \sin \alpha = \frac{2a(1 - \cos \alpha)}{2} \cdot a \sin \alpha = a^2(1 - \cos \alpha)\sin \alpha$.

Исследуем функцию $S(\alpha) = a^2(\sin \alpha - \sin \alpha \cos \alpha) = a^2(\sin \alpha - \frac{1}{2}\sin(2\alpha))$ на интервале $(\pi/3, \pi/2)$.

$S'(\alpha) = a^2(\cos \alpha - \cos(2\alpha))$.

На интервале $(\pi/3, \pi/2)$ имеем $\cos \alpha < \cos(\pi/3) = 1/2$ и $\cos(2\alpha) < \cos(2\pi/3) = -1/2$. Таким образом, $\cos \alpha > \cos(2\alpha)$, и $S'(\alpha) > 0$.

Это означает, что функция $S(\alpha)$ возрастает на всем интервале. Максимальное значение достигается при $\alpha \to \pi/2$. В этом пределе трапеция вырождается в прямоугольник со сторонами $a$ и $a$, и ее площадь стремится к $a^2$.

Сравнение результатов.

Сравниваем максимальные площади, полученные в двух случаях: $S_{max1} = \frac{3\sqrt{3}}{4}a^2$ и $S_{max2} = a^2$.

Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $\frac{3\sqrt{3}}{4} \approx \frac{3 \cdot 1.732}{4} = \frac{5.196}{4} \approx 1.299$.

Поскольку $\frac{3\sqrt{3}}{4} > 1$, то $S_{max1} > S_{max2}$.

Следовательно, наибольшая площадь трапеции равна $\frac{3\sqrt{3}}{4}a^2$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{4}a^2$.

2) Требуется найти координаты точки $M$ на параболе $y = x^2$, которая находится на наименьшем расстоянии от точки $A(-1; 2)$.

Координаты точки $M$ можно записать как $(x; x^2)$.

Квадрат расстояния $d^2$ между точками $A(x_A, y_A)$ и $M(x_M, y_M)$ равен $d^2 = (x_M - x_A)^2 + (y_M - y_A)^2$. Минимизация расстояния $d$ эквивалентна минимизации его квадрата $d^2$.

Пусть $f(x) = d^2 = (x - (-1))^2 + (x^2 - 2)^2 = (x + 1)^2 + (x^2 - 2)^2$.

Раскроем скобки:

$f(x) = (x^2 + 2x + 1) + (x^4 - 4x^2 + 4) = x^4 - 3x^2 + 2x + 5$.

Для нахождения минимума функции найдем ее производную и приравняем к нулю:

$f'(x) = 4x^3 - 6x + 2$.

$4x^3 - 6x + 2 = 0$.

Разделим уравнение на 2:

$2x^3 - 3x + 1 = 0$.

Заметим, что $x=1$ является корнем уравнения, так как $2(1)^3 - 3(1) + 1 = 2 - 3 + 1 = 0$.

Разделим многочлен $2x^3 - 3x + 1$ на $(x - 1)$:

$(2x^3 - 3x + 1) : (x - 1) = 2x^2 + 2x - 1$.

Таким образом, уравнение можно записать в виде:

$(x - 1)(2x^2 + 2x - 1) = 0$.

Отсюда получаем корни: $x_1 = 1$ и корни уравнения $2x^2 + 2x - 1 = 0$.

Решим квадратное уравнение:

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}$.

Получили три критические точки: $x_1 = 1$, $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{3}}{2}$, $x_3 = \frac{-1 - \sqrt{3}}{2}$.

Чтобы определить, какая из них соответствует минимуму, используем вторую производную:

$f''(x) = (4x^3 - 6x + 2)' = 12x^2 - 6$.

Проверим знаки второй производной в критических точках:

$f''(1) = 12(1)^2 - 6 = 6 > 0$, следовательно, в точке $x=1$ находится локальный минимум.

Для $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{3}}{2}$, $x_2^2 = (\frac{-1 + \sqrt{3}}{2})^2 = \frac{1 - 2\sqrt{3} + 3}{4} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{4} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} < 1$.$f''(x_2) = 12(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) - 6 = 12 - 6\sqrt{3} - 6 = 6 - 6\sqrt{3} = 6(1 - \sqrt{3}) < 0$, следовательно, в точке $x_2$ находится локальный максимум.

Для $x_3 = \frac{-1 - \sqrt{3}}{2}$, $x_3^2 = (\frac{-1 - \sqrt{3}}{2})^2 = \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{4} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{4} = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} > 1$.$f''(x_3) = 12(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) - 6 = 12 + 6\sqrt{3} - 6 = 6 + 6\sqrt{3} > 0$, следовательно, в точке $x_3$ находится локальный минимум.

Теперь сравним значения функции $f(x)$ в точках локальных минимумов:

$f(1) = (1+1)^2 + (1^2-2)^2 = 2^2 + (-1)^2 = 5$.

$f(\frac{-1 - \sqrt{3}}{2}) = (\frac{-1 - \sqrt{3}}{2} + 1)^2 + ((\frac{-1 - \sqrt{3}}{2})^2 - 2)^2 = (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{4} - 2)^2$

$= \frac{1 - 2\sqrt{3} + 3}{4} + (\frac{4 + 2\sqrt{3}}{4} - \frac{8}{4})^2 = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{4} + (\frac{-4 + 2\sqrt{3}}{4})^2 = \frac{2 - \sqrt{3}}{2} + \frac{16 - 16\sqrt{3} + 12}{16}$

$= \frac{2 - \sqrt{3}}{2} + \frac{28 - 16\sqrt{3}}{16} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2} + \frac{7 - 4\sqrt{3}}{4} = \frac{4 - 2\sqrt{3} + 7 - 4\sqrt{3}}{4} = \frac{11 - 6\sqrt{3}}{4}$.

Так как $6\sqrt{3} = \sqrt{108}$, а $11 = \sqrt{121}$, то $11 - 6\sqrt{3} > 0$. $11 - 6\sqrt{3} \approx 11 - 6 \cdot 1.732 = 11 - 10.392 = 0.608$.$f(x_3) \approx 0.608 / 4 = 0.152$.

Поскольку $\frac{11 - 6\sqrt{3}}{4} < 5$, то глобальный минимум достигается при $x = \frac{-1 - \sqrt{3}}{2}$.

Теперь найдем координаты точки $M$:

$x_M = \frac{-1 - \sqrt{3}}{2}$.

$y_M = x_M^2 = (\frac{-1 - \sqrt{3}}{2})^2 = \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{4} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{4} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}$.

Координаты точки $M$: $(\frac{-1 - \sqrt{3}}{2}; \frac{2 + \sqrt{3}}{2})$.

Ответ: $M(\frac{-1 - \sqrt{3}}{2}; \frac{2 + \sqrt{3}}{2})$.