Страница 140, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1. Почему надо учитывать множество допустимых значений переменной в уравнениях, содержащих обратные тригонометрические функции?

2. Обязательно ли проверять полученное значение корня методом подстановки в уравнение?

1. Почему надо учитывать множество допустимых значений переменной в уравнениях, содержащих обратные тригонометрические функции?

Учитывать множество допустимых значений (МДЗ) переменной в уравнениях с обратными тригонометрическими функциями необходимо из-за самой природы этих функций. Обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс) имеют строгие ограничения на свои аргументы (область определения) и на свои значения (область значений).

Рассмотрим основные ограничения:

1. Область определения (ограничения на аргумент):

• Функции $y = \arcsin(x)$ и $y = \arccos(x)$ определены только для аргументов $x$, принадлежащих отрезку $[-1, 1]$. Это связано с тем, что синус и косинус любого угла не могут по модулю превышать 1. Поэтому, если в уравнении есть выражение вида $\arcsin(f(x))$ или $\arccos(f(x))$, мы должны потребовать выполнения условия $-1 \le f(x) \le 1$.
• Функции $y = \arctan(x)$ и $y = \arccot(x)$ определены для любых действительных значений $x$, поэтому на их аргументы ограничений нет.

2. Область значений (ограничения на результат функции):

• $\arcsin(x)$ возвращает значения в диапазоне $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
• $\arccos(x)$ возвращает значения в диапазоне $[0, \pi]$.
• $\arctan(x)$ возвращает значения в диапазоне $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
• $\arccot(x)$ возвращает значения в диапазоне $(0, \pi)$.

При решении уравнений мы часто выполняем преобразования (например, берем синус или косинус от обеих частей), которые могут быть неэквивалентными, то есть могут приводить к появлению посторонних корней. Учет МДЗ позволяет отсеять такие корни еще на начальном этапе или в процессе решения. Если найденный корень не входит в МДЗ, он не является решением исходного уравнения, так как при его подстановке одна из функций в уравнении просто не будет определена.

Например, в уравнении $\arcsin(2x-5) = \frac{\pi}{6}$ сначала нужно найти МДЗ: $-1 \le 2x-5 \le 1$. Решая это двойное неравенство, получаем $4 \le 2x \le 6$, или $2 \le x \le 3$. Если в ходе решения мы получим корень, не принадлежащий этому отрезку, мы должны его отбросить.

Ответ: Учет множества допустимых значений необходим, поскольку обратные тригонометрические функции имеют ограниченные области определения и значений. Это позволяет гарантировать, что все выражения в уравнении имеют смысл, и отсеивать посторонние корни, которые могут появиться в результате преобразований.

2. Обязательно ли проверять полученное значение корня методом подстановки в уравнение?

Проверка полученного корня методом подстановки является очень важным, а часто и обязательным этапом решения уравнений, особенно содержащих обратные тригонометрические функции. Это связано с тем, что в процессе решения могут применяться неэквивалентные (неравносильные) преобразования, которые приводят к появлению посторонних корней.

Примеры таких преобразований:

• Возведение обеих частей уравнения в квадрат. Уравнение $A=B$ является следствием уравнения $A^2=B^2$, но не наоборот. Возведение в квадрат может добавить корни, так как из $A^2=B^2$ следует $A=B$ или $A=-B$.
• Применение тригонометрической функции к обеим частям уравнения. Например, из уравнения $\arccos(x) = \alpha$ следует $x = \cos(\alpha)$. Однако, если $\alpha$ не принадлежит области значений арккосинуса (то есть отрезку $[0, \pi]$), то исходное уравнение не имеет решений, в то время как преобразованное уравнение $x = \cos(\alpha)$ решение имеет. Например, уравнение $\arccos(x) = - \frac{\pi}{4}$ не имеет решений. Но если мы возьмем косинус от обеих частей, получим $x = \cos(-\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подстановка этого значения в исходное уравнение дает $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4} \ne -\frac{\pi}{4}$. Значит, $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ — посторонний корень.

Есть два основных подхода к отсеву посторонних корней:

1. Нахождение МДЗ. Найти все ограничения на переменную $x$ в самом начале, решить уравнение и затем проверить, принадлежат ли найденные корни МДЗ. Этот метод хорош, но нахождение МДЗ само по себе может быть сложной задачей.

2. Проверка подстановкой. Решить уравнение без предварительного нахождения МДЗ, а затем подставить каждый полученный "кандидат" в корни в исходное уравнение и проверить, выполняется ли равенство.

Иногда эти методы комбинируют. Проверка подстановкой является универсальным и самым надежным способом убедиться, что найденное число действительно является корнем уравнения.

Если при решении вы использовали только равносильные преобразования и уверены в этом на 100%, то проверка не является формально обязательной (кроме как для самоконтроля на предмет арифметических ошибок). Однако доказать равносильность всех шагов бывает непросто. Поэтому проверка подстановкой — это практически обязательный стандарт для надежного решения.

Ответ: Да, проверять полученное значение корня методом подстановки настоятельно рекомендуется и часто является обязательным. Это самый надежный способ отсеять посторонние корни, которые могли появиться из-за использования неэквивалентных преобразований в процессе решения уравнения.

8. Найдите значение величины $M(2X + 3)$, если закон распределения случайной величины X задан таблицей 58:

Таблица 58

X 3 4 5 6 7

P 0,3 0,3 0,2 0,1 0,1

A) 12,4;

B) 10,4;

C) 12,2;

D) 12,6.

Для того чтобы найти значение величины $M(2X + 3)$, необходимо сначала вычислить математическое ожидание $M(X)$ случайной величины $X$, а затем воспользоваться свойством линейности математического ожидания.

1. Вычисление математического ожидания $M(X)$

Математическое ожидание дискретной случайной величины рассчитывается как сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности. Формула для вычисления математического ожидания:

$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$

Согласно таблице, случайная величина $X$ принимает значения $x_i$: 3, 4, 5, 6, 7 с соответствующими вероятностями $p_i$: 0,3; 0,3; 0,2; 0,1; 0,1.

Проверим, что сумма вероятностей равна 1:

$0,3 + 0,3 + 0,2 + 0,1 + 0,1 = 1$

Теперь подставим данные из таблицы в формулу для $M(X)$:

$M(X) = 3 \cdot 0,3 + 4 \cdot 0,3 + 5 \cdot 0,2 + 6 \cdot 0,1 + 7 \cdot 0,1$

Выполним вычисления:

$M(X) = 0,9 + 1,2 + 1,0 + 0,6 + 0,7 = 4,4$

Итак, математическое ожидание случайной величины $X$ равно 4,4.

2. Вычисление значения $M(2X + 3)$

Воспользуемся свойством линейности математического ожидания: $M(aX + b) = aM(X) + b$.

В нашем случае $a = 2$ и $b = 3$. Подставим найденное значение $M(X) = 4,4$ в формулу:

$M(2X + 3) = 2 \cdot M(X) + 3 = 2 \cdot 4,4 + 3$

Выполним вычисления:

$M(2X + 3) = 8,8 + 3 = 11,8$

Таким образом, искомое значение величины $M(2X + 3)$ равно 11,8.

Ответ: 11,8

9. Производится серия из 5 независимых испытаний. Событие X имеет вероятность $p = 0,8$. Найдите вероятность появления события X при этих испытаниях ровно три раза:

A) $\approx 0,352$; B) $\approx 0,296$; C) $\approx 0,306$; D) $\approx 0,307$.

Для решения данной задачи используется формула Бернулли, которая определяет вероятность наступления события ровно $k$ раз в серии из $n$ независимых испытаний.

Формула Бернулли:$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

где:

$n$ — общее количество испытаний;

$k$ — количество "успешных" исходов (появлений события X);

$p$ — вероятность "успеха" в одном испытании;

$q$ — вероятность "неудачи" в одном испытании, $q = 1 - p$;

$C_n^k$ — биномиальный коэффициент (число сочетаний из $n$ по $k$), который рассчитывается как $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Исходя из условия задачи, мы имеем следующие параметры:

- Число испытаний: $n = 5$.

- Вероятность появления события X в одном испытании: $p = 0,8$.

- Требуемое число появлений события X: $k = 3$.

1. Найдем вероятность противоположного события (неудачи) $q$:

$q = 1 - p = 1 - 0,8 = 0,2$.

2. Рассчитаем биномиальный коэффициент $C_5^3$:

$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{(1 \cdot 2 \cdot 3) \cdot (1 \cdot 2)} = \frac{4 \cdot 5}{2} = 10$.

Это означает, что существует 10 способов, которыми событие X может произойти ровно 3 раза в 5 испытаниях.

3. Подставим все найденные значения в формулу Бернулли:

$P_5(3) = C_5^3 \cdot p^3 \cdot q^{n-k} = 10 \cdot (0,8)^3 \cdot (0,2)^{5-3} = 10 \cdot (0,8)^3 \cdot (0,2)^2$.

4. Выполним вычисления:

$(0,8)^3 = 0,512$

$(0,2)^2 = 0,04$

$P_5(3) = 10 \cdot 0,512 \cdot 0,04 = 5,12 \cdot 0,04 = 0,2048$.

Таким образом, вероятность появления события X ровно три раза в серии из 5 испытаний составляет $0,2048$.

Полученный результат не соответствует ни одному из предложенных вариантов ответа. Наиболее вероятно, в условии задачи или в вариантах ответа содержится опечатка. Расчет, приведенный выше, является математически верным для данных из условия.

Ответ: $0,2048$

10. Вероятность появления события А в испытании равна 0,4. Испытания повторяли независимым образом десять раз. Вероятность того, что событие А появится не более четырех раз, вычисляется по формуле:

A) $p = \sum_{n=0}^{4} C_{10}^n \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^n \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{10-n}$;

B) $p = \sum_{n=0}^{4} C_{10}^n \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^n \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{10-n}$;

C) $p = \sum_{n=0}^{4} C_{10}^n \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^n \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{9-n}$;

D) $p = \sum_{n=0}^{3} C_{10}^n \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^n \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^{10-n}$.

Данная задача относится к схеме повторных независимых испытаний, известной как схема Бернулли. Вероятность того, что в $k$ независимых испытаниях событие A наступит ровно $n$ раз, вычисляется по формуле Бернулли:$P_k(n) = C_k^n \cdot p^n \cdot q^{k-n}$где:

• $k$ — общее число испытаний.
• $n$ — число наступлений события A (число "успехов").
• $p$ — вероятность наступления события A в одном испытании.
• $q$ — вероятность ненаступления события A в одном испытании, причем $q = 1 - p$.
• $C_k^n = \frac{k!}{n!(k-n)!}$ — число сочетаний из $k$ по $n$.

Проанализируем условия задачи:

1. Вероятность появления события A в одном испытании: $p = 0,4$. Переведем в обыкновенную дробь: $p = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

2. Вероятность того, что событие A не появится в одном испытании: $q = 1 - p = 1 - 0,4 = 0,6$. Переведем в обыкновенную дробь: $q = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

3. Общее число независимых испытаний: $k = 10$.

4. Нас интересует вероятность того, что событие A появится "не более четырех раз". Это означает, что число появлений события $n$ может быть равно 0, 1, 2, 3 или 4. То есть $n \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$.

Чтобы найти искомую вероятность, нужно сложить вероятности для каждого из этих случаев, так как эти события (A появилось 0 раз, A появилось 1 раз, и т.д.) несовместны.

Искомая вероятность $p$ будет равна сумме:$p = P_{10}(0) + P_{10}(1) + P_{10}(2) + P_{10}(3) + P_{10}(4)$

Используя знак суммирования, это можно записать как:$p = \sum_{n=0}^{4} P_{10}(n)$

Теперь подставим в эту формулу выражение для $P_{10}(n)$ из формулы Бернулли с нашими параметрами ($k=10$, $p=2/5$, $q=3/5$):$p = \sum_{n=0}^{4} C_{10}^n \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^n \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{10-n}$

Сравним полученную формулу с предложенными вариантами ответов:

A) $p = \sum_{n=0}^{4} C_{10}^n \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^n \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{10-n}$ — неверно, так как вероятность $p$ равна $1/4$, а не $2/5$.

B) $p = \sum_{n=0}^{4} C_{10}^n \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^n \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{10-n}$ — полностью совпадает с нашей формулой.

C) $p = \sum_{n=0}^{4} C_{10}^n \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^n \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{9-n}$ — неверно, так как показатель степени у второго множителя должен быть $10-n$, а не $9-n$. Сумма показателей степеней должна быть равна общему числу испытаний $k=10$.

D) $p = \sum_{n=0}^{3} C_{10}^n \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^n \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^{10-n}$ — неверно, так как верхний предел суммирования равен 3, а не 4 (событие "не более четырех раз" включает 4). Кроме того, вероятности $p$ и $q$ указаны неверно.

Следовательно, правильная формула представлена в варианте B.

Ответ: B