Номер 10, страница 140, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10. Вероятность появления события А в испытании равна 0,4. Испытания повторяли независимым образом десять раз. Вероятность того, что событие А появится не более четырех раз, вычисляется по формуле:

A) $p = \sum_{n=0}^{4} C_{10}^n \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^n \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{10-n}$;

B) $p = \sum_{n=0}^{4} C_{10}^n \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^n \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{10-n}$;

C) $p = \sum_{n=0}^{4} C_{10}^n \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^n \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{9-n}$;

D) $p = \sum_{n=0}^{3} C_{10}^n \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^n \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^{10-n}$.

Данная задача относится к схеме повторных независимых испытаний, известной как схема Бернулли. Вероятность того, что в $k$ независимых испытаниях событие A наступит ровно $n$ раз, вычисляется по формуле Бернулли:$P_k(n) = C_k^n \cdot p^n \cdot q^{k-n}$где:

• $k$ — общее число испытаний.
• $n$ — число наступлений события A (число "успехов").
• $p$ — вероятность наступления события A в одном испытании.
• $q$ — вероятность ненаступления события A в одном испытании, причем $q = 1 - p$.
• $C_k^n = \frac{k!}{n!(k-n)!}$ — число сочетаний из $k$ по $n$.

Проанализируем условия задачи:

1. Вероятность появления события A в одном испытании: $p = 0,4$. Переведем в обыкновенную дробь: $p = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

2. Вероятность того, что событие A не появится в одном испытании: $q = 1 - p = 1 - 0,4 = 0,6$. Переведем в обыкновенную дробь: $q = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

3. Общее число независимых испытаний: $k = 10$.

4. Нас интересует вероятность того, что событие A появится "не более четырех раз". Это означает, что число появлений события $n$ может быть равно 0, 1, 2, 3 или 4. То есть $n \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$.

Чтобы найти искомую вероятность, нужно сложить вероятности для каждого из этих случаев, так как эти события (A появилось 0 раз, A появилось 1 раз, и т.д.) несовместны.

Искомая вероятность $p$ будет равна сумме:$p = P_{10}(0) + P_{10}(1) + P_{10}(2) + P_{10}(3) + P_{10}(4)$

Используя знак суммирования, это можно записать как:$p = \sum_{n=0}^{4} P_{10}(n)$

Теперь подставим в эту формулу выражение для $P_{10}(n)$ из формулы Бернулли с нашими параметрами ($k=10$, $p=2/5$, $q=3/5$):$p = \sum_{n=0}^{4} C_{10}^n \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^n \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{10-n}$

Сравним полученную формулу с предложенными вариантами ответов:

A) $p = \sum_{n=0}^{4} C_{10}^n \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^n \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{10-n}$ — неверно, так как вероятность $p$ равна $1/4$, а не $2/5$.

B) $p = \sum_{n=0}^{4} C_{10}^n \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^n \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{10-n}$ — полностью совпадает с нашей формулой.

C) $p = \sum_{n=0}^{4} C_{10}^n \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^n \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{9-n}$ — неверно, так как показатель степени у второго множителя должен быть $10-n$, а не $9-n$. Сумма показателей степеней должна быть равна общему числу испытаний $k=10$.

D) $p = \sum_{n=0}^{3} C_{10}^n \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^n \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^{10-n}$ — неверно, так как верхний предел суммирования равен 3, а не 4 (событие "не более четырех раз" включает 4). Кроме того, вероятности $p$ и $q$ указаны неверно.

Следовательно, правильная формула представлена в варианте B.

Ответ: B