Номер 5, страница 141, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5. Найдите значение углового коэффициента касательной к графику $y = f(x)$ функции в точке с абсциссой $x_0$:

1) $y = \frac{2x+1}{x-1}$;

2) $y = \frac{x}{x+1} + \sqrt{3-x}$, $x_0 = 2$;

3) $y = \frac{2x-1}{x+1} + \frac{9}{x}$, $x_0 = 3$.

Угловой коэффициент касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции $f'(x)$ в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$.

1) $y = \frac{2x + 1}{x - 1}$

В условии для этого пункта не указана точка с абсциссой $x_0$. Найдем производную функции в общем виде. Используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, получаем:

$y' = f'(x) = \left(\frac{2x + 1}{x - 1}\right)' = \frac{(2x+1)'(x-1) - (2x+1)(x-1)'}{(x-1)^2} = \frac{2(x-1) - (2x+1) \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{2x-2-2x-1}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}$.

Значение углового коэффициента в точке $x_0$ равно $k = f'(x_0) = \frac{-3}{(x_0-1)^2}$.

Поскольку значение $x_0$ не задано, можно предположить, что в условии имеется опечатка. Интересно, что для двух наиболее вероятных в таких задачах точек, $x_0=0$ (точка пересечения с осью ординат) и $x_0=2$ (аналогично пункту 2), результат получается одинаковый.

При $x_0 = 2$: $k = \frac{-3}{(2-1)^2} = \frac{-3}{1^2} = -3$.

При $x_0 = 0$: $k = \frac{-3}{(0-1)^2} = \frac{-3}{(-1)^2} = -3$.

Следовательно, можно с высокой степенью уверенности утверждать, что искомое значение равно -3.

Ответ: -3.

2) $y = \frac{x}{x+1} + \sqrt{3-x}$, $x_0 = 2$

Найдем производную функции как производную суммы двух функций: $y' = (\frac{x}{x+1})' + (\sqrt{3-x})'$.

Производная первого слагаемого по правилу дифференцирования частного:

$(\frac{x}{x+1})' = \frac{(x)'(x+1) - x(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{x+1-x}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}$.

Производная второго слагаемого по правилу дифференцирования сложной функции:

$(\sqrt{3-x})' = ((3-x)^{1/2})' = \frac{1}{2}(3-x)^{-1/2} \cdot (3-x)' = \frac{1}{2\sqrt{3-x}} \cdot (-1) = -\frac{1}{2\sqrt{3-x}}$.

Таким образом, производная функции равна: $y' = \frac{1}{(x+1)^2} - \frac{1}{2\sqrt{3-x}}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$:

$k = y'(2) = \frac{1}{(2+1)^2} - \frac{1}{2\sqrt{3-2}} = \frac{1}{3^2} - \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{9} - \frac{1}{2} = \frac{2}{18} - \frac{9}{18} = -\frac{7}{18}$.

Ответ: $-\frac{7}{18}$.

3) $y = \frac{2x-1}{x+1} + \frac{9}{x}$, $x_0 = 3$

Найдем производную функции как производную суммы двух функций: $y' = (\frac{2x-1}{x+1})' + (\frac{9}{x})'$.

Производная первого слагаемого по правилу дифференцирования частного:

$(\frac{2x-1}{x+1})' = \frac{(2x-1)'(x+1) - (2x-1)(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{2(x+1) - (2x-1) \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{2x+2-2x+1}{(x+1)^2} = \frac{3}{(x+1)^2}$.

Производная второго слагаемого:

$(\frac{9}{x})' = (9x^{-1})' = -9x^{-2} = -\frac{9}{x^2}$.

Таким образом, производная функции равна: $y' = \frac{3}{(x+1)^2} - \frac{9}{x^2}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 3$:

$k = y'(3) = \frac{3}{(3+1)^2} - \frac{9}{3^2} = \frac{3}{4^2} - \frac{9}{9} = \frac{3}{16} - 1 = \frac{3-16}{16} = -\frac{13}{16}$.

Ответ: $-\frac{13}{16}$.