Номер 9, страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите пределы функций (9–10):

9. 1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x};$

2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{\text{tg } 2x};$

3) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 4x}{4x^2};$

4) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 6x}{\sin^2 2x};$

5) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 - x} - 1}{x};$

6) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4 - x} - 2}{x};$

7) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{3 - x} - \sqrt{3}}{2x};$

8) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{5 - x} - 2}{x - 1}.$

1) Для решения этого предела воспользуемся первым замечательным пределом, который гласит, что $ \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1 $.

В данном случае мы можем сделать замену переменной. Пусть $ u = 3x $. Когда $ x $ стремится к нулю, $ u $ также стремится к нулю.

Подставляя новую переменную в исходное выражение, получаем:

$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1 $.

Ответ: $1$

2) При подстановке $ x = 0 $ возникает неопределенность вида $ \frac{0}{0} $. Для ее раскрытия воспользуемся эквивалентными бесконечно малыми функциями. При $ x \to 0 $ справедливы следующие эквивалентности: $ \sin(kx) \sim kx $ и $ \tan(kx) \sim kx $.

В нашем случае $ \sin 5x \sim 5x $ и $ \tan 2x \sim 2x $.

Заменяем функции на эквивалентные им бесконечно малые в выражении под знаком предела:

$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{\tan 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{5x}{2x} = \frac{5}{2} $.

Ответ: $\frac{5}{2}$

3) Здесь также имеем неопределенность вида $ \frac{0}{0} $. Используем следствие из первого замечательного предела: $ 1 - \cos u \sim \frac{u^2}{2} $ при $ u \to 0 $.

В данном примере $ u = 4x $. Следовательно, $ 1 - \cos 4x \sim \frac{(4x)^2}{2} = \frac{16x^2}{2} = 8x^2 $.

Подставим эту эквивалентность в предел:

$ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 4x}{4x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{8x^2}{4x^2} = \frac{8}{4} = 2 $.

Ответ: $2$

4) Для нахождения этого предела с неопределенностью $ \frac{0}{0} $ снова применим эквивалентные бесконечно малые.

Для числителя используем $ 1 - \cos 6x \sim \frac{(6x)^2}{2} = \frac{36x^2}{2} = 18x^2 $.

Для знаменателя используем $ \sin 2x \sim 2x $, тогда $ \sin^2 2x \sim (2x)^2 = 4x^2 $.

Производим замену в исходном пределе:

$ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 6x}{\sin^2 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{18x^2}{4x^2} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} $.

Ответ: $\frac{9}{2}$

5) В этом пределе неопределенность вида $ \frac{0}{0} $. Для ее устранения домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, то есть на $ (\sqrt{1 - x} + 1) $.

$ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 - x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1 - x} - 1)(\sqrt{1 - x} + 1)}{x(\sqrt{1 - x} + 1)} $

В числителе применяем формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $:

$ = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1 - x})^2 - 1^2}{x(\sqrt{1 - x} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - x - 1}{x(\sqrt{1 - x} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{-x}{x(\sqrt{1 - x} + 1)} $

Сокращаем $ x $ (так как $ x \to 0 $, но $ x \neq 0 $):

$ = \lim_{x \to 0} \frac{-1}{\sqrt{1 - x} + 1} = \frac{-1}{\sqrt{1 - 0} + 1} = \frac{-1}{1 + 1} = -\frac{1}{2} $.

Ответ: $-\frac{1}{2}$

6) Здесь снова неопределенность $ \frac{0}{0} $. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ (\sqrt{4 - x} + 2) $.

$ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4 - x} - 2}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{4 - x} - 2)(\sqrt{4 - x} + 2)}{x(\sqrt{4 - x} + 2)} $

$ = \lim_{x \to 0} \frac{(4 - x) - 4}{x(\sqrt{4 - x} + 2)} = \lim_{x \to 0} \frac{-x}{x(\sqrt{4 - x} + 2)} $

Сокращаем $ x $:

$ = \lim_{x \to 0} \frac{-1}{\sqrt{4 - x} + 2} = \frac{-1}{\sqrt{4 - 0} + 2} = \frac{-1}{2 + 2} = -\frac{1}{4} $.

Ответ: $-\frac{1}{4}$

7) В этом пределе также неопределенность $ \frac{0}{0} $. Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ (\sqrt{3 - x} + \sqrt{3}) $.

$ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{3 - x} - \sqrt{3}}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{3 - x} - \sqrt{3})(\sqrt{3 - x} + \sqrt{3})}{2x(\sqrt{3 - x} + \sqrt{3})} $

$ = \lim_{x \to 0} \frac{(3 - x) - 3}{2x(\sqrt{3 - x} + \sqrt{3})} = \lim_{x \to 0} \frac{-x}{2x(\sqrt{3 - x} + \sqrt{3})} $

Сокращаем $ x $:

$ = \lim_{x \to 0} \frac{-1}{2(\sqrt{3 - x} + \sqrt{3})} = \frac{-1}{2(\sqrt{3 - 0} + \sqrt{3})} = \frac{-1}{2(2\sqrt{3})} = -\frac{1}{4\sqrt{3}} $.

Ответ: $-\frac{1}{4\sqrt{3}}$

8) При $ x \to 1 $ получаем неопределенность вида $ \frac{0}{0} $. Как и в предыдущих примерах с корнями, домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение, которое в данном случае равно $ (\sqrt{5 - x} + 2) $.

$ \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{5 - x} - 2}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{5 - x} - 2)(\sqrt{5 - x} + 2)}{(x - 1)(\sqrt{5 - x} + 2)} $

$ = \lim_{x \to 1} \frac{(5 - x) - 4}{(x - 1)(\sqrt{5 - x} + 2)} = \lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{(x - 1)(\sqrt{5 - x} + 2)} $

Заметим, что $ 1 - x = -(x - 1) $. Подставим это в числитель:

$ = \lim_{x \to 1} \frac{-(x - 1)}{(x - 1)(\sqrt{5 - x} + 2)} $

Сократим дробь на $ (x - 1) $:

$ = \lim_{x \to 1} \frac{-1}{\sqrt{5 - x} + 2} = \frac{-1}{\sqrt{5 - 1} + 2} = \frac{-1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{-1}{2 + 2} = -\frac{1}{4} $.

Ответ: $-\frac{1}{4}$