Номер 14, страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14. Найдите точки, в которых $f'(x)=0$:

1) $f(x) = 3x^2 - x^3$;

2) $f(x) = 2x^2 - x^4$;

3) $f(x) = \sin(2x) + \cos(2x) - 2$;

4) $f(x) = \sin^2(2x) + 2x - 1$.

Для нахождения точек, в которых производная функции $f'(x)$ равна нулю, необходимо для каждой функции выполнить два шага:

1. Найти производную $f'(x)$.

2. Решить уравнение $f'(x) = 0$.

1) $f(x) = 3x^2 - x^3$

Сначала находим производную функции, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (3x^2 - x^3)' = 3 \cdot 2x^{2-1} - 3x^{3-1} = 6x - 3x^2$.

Теперь приравниваем производную к нулю и решаем полученное уравнение:

$6x - 3x^2 = 0$.

Выносим общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(2 - x) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных случая:

$3x = 0$ или $2 - x = 0$.

Решая эти простые уравнения, находим точки:

$x_1 = 0$,

$x_2 = 2$.

Ответ: $x=0$, $x=2$.

2) $f(x) = 2x^2 - x^4$

Находим производную функции:

$f'(x) = (2x^2 - x^4)' = 2 \cdot 2x - 4x^3 = 4x - 4x^3$.

Приравниваем производную к нулю:

$4x - 4x^3 = 0$.

Выносим общий множитель $4x$ за скобки:

$4x(1 - x^2) = 0$.

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для выражения в скобках:

$4x(1 - x)(1 + x) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$4x = 0$ или $1 - x = 0$ или $1 + x = 0$.

Решая эти уравнения, находим три точки:

$x_1 = 0$,

$x_2 = 1$,

$x_3 = -1$.

Ответ: $x=-1$, $x=0$, $x=1$.

3) $f(x) = \sin(2x) + \cos(2x) - 2$

Находим производную, используя правила дифференцирования тригонометрических функций и сложной функции: $(\sin u)' = u'\cos u$, $(\cos u)' = -u'\sin u$.

$f'(x) = (\sin(2x) + \cos(2x) - 2)' = (\sin(2x))' + (\cos(2x))' - (2)'$.

$f'(x) = \cos(2x) \cdot (2x)' - \sin(2x) \cdot (2x)' - 0 = 2\cos(2x) - 2\sin(2x)$.

Приравниваем производную к нулю:

$2\cos(2x) - 2\sin(2x) = 0$.

$2\cos(2x) = 2\sin(2x)$.

$\cos(2x) = \sin(2x)$.

Разделим обе части уравнения на $\cos(2x)$. Это можно сделать, так как если $\cos(2x) = 0$, то $\sin(2x) = \pm 1$, и равенство $0 = \pm 1$ не выполняется.

$\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = 1$.

$\tan(2x) = 1$.

Общее решение уравнения $\tan(u) = 1$ имеет вид $u = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in Z$).

В нашем случае $u = 2x$:

$2x = \frac{\pi}{4} + \pi n$.

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in Z$.

4) $f(x) = \sin^2(2x) + 2x - 1$

Находим производную. Для члена $\sin^2(2x)$ используем правило дифференцирования сложной функции $(u^2)'=2uu'$:

$f'(x) = (\sin^2(2x) + 2x - 1)' = (\sin^2(2x))' + (2x)' - (1)'$.

$(\sin^2(2x))' = 2\sin(2x) \cdot (\sin(2x))' = 2\sin(2x) \cdot \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\sin(2x)\cos(2x) \cdot 2 = 4\sin(2x)\cos(2x)$.

Используя формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$, получаем:

$4\sin(2x)\cos(2x) = 2 \cdot (2\sin(2x)\cos(2x)) = 2\sin(2 \cdot 2x) = 2\sin(4x)$.

Производная всей функции:

$f'(x) = 2\sin(4x) + 2$.

Приравниваем производную к нулю:

$2\sin(4x) + 2 = 0$.

$2\sin(4x) = -2$.

$\sin(4x) = -1$.

Это частный случай тригонометрического уравнения. Решение для $\sin(u) = -1$ имеет вид $u = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in Z$.

В нашем случае $u = 4x$:

$4x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

Разделим обе части на 4:

$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{2\pi n}{4} = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in Z$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in Z$.