Номер 21, страница 143, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21. Найдите асимптоты графика функции:

1) $y = \frac{x+3}{x-1}$;

2) $y = \frac{4-2x}{x+3}$;

3) $y = \frac{x^2+4}{x-2}$;

4) $y = \frac{x^2-4x}{x+2}$.

1) Для функции $y = \frac{x+3}{x-1}$ найдем асимптоты.

Вертикальная асимптота: Вертикальные асимптоты могут существовать в точках разрыва функции. Область определения функции находится из условия, что знаменатель не равен нулю: $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.

Чтобы проверить, является ли прямая $x=1$ вертикальной асимптотой, вычислим односторонние пределы при $x \to 1$:

$\lim_{x \to 1-} \frac{x+3}{x-1} = \frac{4}{-0} = -\infty$

$\lim_{x \to 1+} \frac{x+3}{x-1} = \frac{4}{+0} = +\infty$

Поскольку пределы равны бесконечности, прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальная асимптота: Ищем предел функции при $x \to \pm\infty$. Так как степени многочленов в числителе и знаменателе равны (обе равны 1), горизонтальная асимптота существует и равна отношению коэффициентов при старших степенях $x$:

$y = \lim_{x \to \infty} \frac{x+3}{x-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{3}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = \frac{1}{1} = 1$.

Следовательно, прямая $y=1$ является горизонтальной асимптотой. Поскольку существует горизонтальная асимптота, наклонная асимптота отсутствует.

Ответ: вертикальная асимптота $x=1$, горизонтальная асимптота $y=1$.

2) Для функции $y = \frac{4-2x}{x+3}$ найдем асимптоты.

Вертикальная асимптота: Знаменатель обращается в ноль при $x+3=0$, то есть при $x=-3$. Числитель в этой точке не равен нулю: $4 - 2(-3) = 10 \neq 0$. Следовательно, прямая $x=-3$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальная асимптота: Степень числителя равна степени знаменателя. Горизонтальная асимптота равна отношению коэффициентов при старших степенях $x$:

$y = \lim_{x \to \infty} \frac{4-2x}{x+3} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x}-2}{1+\frac{3}{x}} = \frac{-2}{1} = -2$.

Прямая $y=-2$ является горизонтальной асимптотой. Наклонной асимптоты нет.

Ответ: вертикальная асимптота $x=-3$, горизонтальная асимптота $y=-2$.

3) Для функции $y = \frac{x^2+4}{x-2}$ найдем асимптоты.

Вертикальная асимптота: Знаменатель обращается в ноль при $x-2=0$, то есть при $x=2$. Числитель в этой точке не равен нулю: $2^2+4 = 8 \neq 0$. Следовательно, прямая $x=2$ является вертикальной асимптотой.

Наклонная асимптота: Степень числителя (2) на единицу больше степени знаменателя (1), поэтому у графика функции есть наклонная асимптота вида $y=kx+b$, а горизонтальной асимптоты нет.

Чтобы найти наклонную асимптоту, выделим целую часть дроби с помощью деления многочленов:

$\frac{x^2+4}{x-2} = \frac{x^2-2x+2x+4}{x-2} = \frac{x(x-2)+2(x-2)+8}{x-2} = x+2 + \frac{8}{x-2}$.

При $x \to \pm\infty$ слагаемое $\frac{8}{x-2}$ стремится к нулю, поэтому график функции приближается к прямой $y=x+2$.

Таким образом, $y=x+2$ — наклонная асимптота.

Ответ: вертикальная асимптота $x=2$, наклонная асимптота $y=x+2$.

4) Для функции $y = \frac{x^2-4x}{x+2}$ найдем асимптоты.

Вертикальная асимптота: Знаменатель обращается в ноль при $x+2=0$, то есть при $x=-2$. Числитель в этой точке не равен нулю: $(-2)^2-4(-2) = 4+8=12 \neq 0$. Следовательно, прямая $x=-2$ является вертикальной асимптотой.

Наклонная асимптота: Степень числителя (2) на единицу больше степени знаменателя (1), значит, есть наклонная асимптота $y=kx+b$.

Выделим целую часть дроби:

$\frac{x^2-4x}{x+2} = \frac{x^2+2x-6x}{x+2} = \frac{x(x+2)-6x}{x+2} = x - \frac{6x}{x+2} = x - \frac{6(x+2)-12}{x+2} = x - (6 - \frac{12}{x+2}) = x - 6 + \frac{12}{x+2}$.

При $x \to \pm\infty$ слагаемое $\frac{12}{x+2}$ стремится к нулю, поэтому график функции приближается к прямой $y=x-6$.

Следовательно, $y=x-6$ — наклонная асимптота.

Ответ: вертикальная асимптота $x=-2$, наклонная асимптота $y=x-6$.