Номер 19, страница 143, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19. 1) Найдите все значения А, при каждом из которых уравнение $5\sin x + 2\cos x = A$ имеет решение.

2) Найдите все значения А, при каждом из которых уравнение $3\sin 2x - 4\cos 2x = A$ имеет решение.

1) Уравнение вида $a \sin(u) + b \cos(u) = A$ имеет решение тогда и только тогда, когда значение $A$ принадлежит области значений функции $f(u) = a \sin(u) + b \cos(u)$. Для нахождения области значений этой функции используется метод введения вспомогательного угла. Левая часть уравнения преобразуется следующим образом: $a \sin(u) + b \cos(u) = \sqrt{a^2+b^2} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin(u) + \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos(u) \right)$. Поскольку сумма квадратов коэффициентов в скобках равна 1, то есть $\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2 + \left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2 = 1$, то существует такой угол $\phi$, что $\cos\phi = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ и $\sin\phi = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$. Тогда выражение в левой части можно записать как $\sqrt{a^2+b^2}(\cos\phi\sin(u) + \sin\phi\cos(u))$, что по формуле синуса суммы равно $\sqrt{a^2+b^2}\sin(u+\phi)$. Так как функция синус принимает значения в диапазоне $[-1, 1]$, то выражение $\sqrt{a^2+b^2}\sin(u+\phi)$ принимает значения в диапазоне $[-\sqrt{a^2+b^2}, \sqrt{a^2+b^2}]$. Следовательно, для того чтобы уравнение имело решение, необходимо, чтобы $A$ принадлежало этому диапазону: $-\sqrt{a^2+b^2} \le A \le \sqrt{a^2+b^2}$.

В нашем уравнении $5\sin x + 2\cos x = A$ коэффициенты $a=5$ и $b=2$. Вычислим $\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{5^2+2^2} = \sqrt{25+4} = \sqrt{29}$. Таким образом, уравнение имеет решение, когда $A$ находится в пределах от $-\sqrt{29}$ до $\sqrt{29}$ включительно. Ответ: $A \in [-\sqrt{29}, \sqrt{29}]$.

2) Данное уравнение $3\sin 2x - 4\cos 2x = A$ является уравнением того же типа, что и в первом пункте. Здесь $u=2x$, $a=3$ и $b=-4$. Аргумент $2x$ вместо $x$ не влияет на область значений левой части, так как функция $\sin(2x+\phi)$ принимает все те же значения из отрезка $[-1, 1]$, что и функция с аргументом $x$. Используем ту же формулу для нахождения диапазона возможных значений $A$. Вычислим $\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{3^2+(-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$. Следовательно, уравнение имеет решение, когда $A$ принадлежит отрезку $[-5, 5]$. Ответ: $A \in [-5, 5]$.