Номер 2, страница 141, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2. Найдите значение выражения:

1) $ \sin \left( \arccos \left( -\frac{1}{2} \right) \right) $;

2) $ \operatorname{ctg} \left( \arccos \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) \right) $;

3) $ \operatorname{tg} \left( \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} \right) $;

4) $ \cos \left( \arcsin \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \right) $.

1) Чтобы найти значение выражения $sin\left(\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$, сначала вычислим значение внутреннего выражения $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$. По определению, $\arccos(x)$ — это угол $\alpha$ из промежутка $[0, \pi]$, для которого $\cos(\alpha) = x$. Используем тождество $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$. Таким образом, $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{1}{2}\right)$. Так как $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$, то $\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$. Следовательно, $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$. Теперь подставляем найденный угол в исходное выражение: $sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)$. Значение $sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

2) Чтобы найти значение выражения $ctg\left(\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)$, сначала вычислим $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Используя тождество $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$, получаем: $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Так как $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$. Значит, $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$. Теперь вычислим котангенс этого угла: $ctg\left(\frac{3\pi}{4}\right)$. Мы знаем, что $ctg\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -1$.

Ответ: $-1$.

3) Чтобы найти значение выражения $tg\left(\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, сначала вычислим $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$. По определению, это угол $\alpha$ из промежутка $[0, \pi]$, для которого $\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Этим углом является $\frac{\pi}{6}$. Теперь подставим это значение в исходное выражение: $tg\left(\frac{\pi}{6}\right)$. Значение тангенса этого угла равно $\frac{1}{\sqrt{3}}$ или $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

4) Чтобы найти значение выражения $\cos\left(\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)$, сначала вычислим внутреннее выражение $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. По определению, $\arcsin(x)$ — это угол $\alpha$ из промежутка $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, для которого $\sin(\alpha) = x$. Используем тождество $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$. Таким образом, $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Так как $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то $\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$. Следовательно, $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}$. Теперь подставим найденный угол в исходное выражение: $\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)$. Так как косинус — четная функция ($\cos(-x) = \cos(x)$), то $\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.