Номер 1, страница 141, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Найдите значение выражения:

1) $ \arccos(-1) - \arccos0 - \operatorname{arctg}1; $

2) $ \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \arccos\frac{\sqrt{3}}{2} - \operatorname{arcctg}1; $

3) $ \arccos\frac{\sqrt{2}}{2} - \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \arcsin1; $

4) $ \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arccos\frac{1}{2} - \arccos0. $

1) Для нахождения значения выражения $arccos(-1) - arccos0 - arctg1$ необходимо вычислить значение каждого из его компонентов.

По определению обратных тригонометрических функций:

• $arccos(-1)$ — это угол из промежутка $[0, \pi]$, косинус которого равен $-1$. Этим углом является $\pi$.

• $arccos(0)$ — это угол из промежутка $[0, \pi]$, косинус которого равен $0$. Этим углом является $\frac{\pi}{2}$.

• $arctg(1)$ — это угол из промежутка $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $1$. Этим углом является $\frac{\pi}{4}$.

Подставим найденные значения в исходное выражение:

$\pi - \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{2} - \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi - \pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$

2) Для нахождения значения выражения $arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) - arccos\frac{\sqrt{3}}{2} - arcctg1$ вычислим значение каждого из его компонентов.

• Для $arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})$ используем тождество $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$. Таким образом, $arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

• $arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$ — это угол из промежутка $[0, \pi]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этим углом является $\frac{\pi}{6}$.

• $arcctg(1)$ — это угол из промежутка $(0, \pi)$, котангенс которого равен $1$. Этим углом является $\frac{\pi}{4}$.

Подставим найденные значения в выражение:

$\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = (\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4}) - \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}$.

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{3\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$

3) Для нахождения значения выражения $arccos\frac{\sqrt{2}}{2} - arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - arcsin1$ вычислим значение каждого из его компонентов.

• $arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

• Для $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})$ используем тождество $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$. Таким образом, $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

• $arcsin(1)$ — это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $1$. Этим углом является $\frac{\pi}{2}$.

Подставим найденные значения в выражение:

$\frac{\pi}{4} - \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{2}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $12$:

$\frac{3\pi}{12} - \frac{10\pi}{12} - \frac{6\pi}{12} = \frac{3\pi - 10\pi - 6\pi}{12} = \frac{-13\pi}{12}$.

Ответ: $-\frac{13\pi}{12}$

4) Для нахождения значения выражения $arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + arccos\frac{1}{2} - arccos0$ вычислим значение каждого из его компонентов.

• Для $arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})$ используем тождество $arcsin(-x) = -arcsin(x)$. Таким образом, $arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.

• $arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

• $arccos(0) = \frac{\pi}{2}$.

Подставим найденные значения в выражение:

$-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2} = 0 - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{2}$