Номер 6, страница 141, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6. Найдите значение $f''(x)$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = \sin3x, x_0 = \frac{\pi}{2};$

2) $f(x) = \cos4x, x_0 = \frac{\pi}{4};$

3) $f(x) = \sin^2 3x, x_0 = -\frac{\pi}{2}.$

1) Дана функция $f(x) = \sin3x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{2}$.

Чтобы найти значение второй производной $f''(x)$ в точке $x_0$, необходимо сначала найти первую, а затем вторую производную функции.

Найдем первую производную $f'(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции (цепное правило):

$f'(x) = (\sin3x)' = \cos3x \cdot (3x)' = 3\cos3x$.

Теперь найдем вторую производную $f''(x)$, продифференцировав $f'(x)$:

$f''(x) = (3\cos3x)' = 3 \cdot (-\sin3x) \cdot (3x)' = 3 \cdot (-\sin3x) \cdot 3 = -9\sin3x$.

Подставим значение $x_0 = \frac{\pi}{2}$ в полученное выражение для второй производной:

$f''(\frac{\pi}{2}) = -9\sin(3 \cdot \frac{\pi}{2}) = -9\sin(\frac{3\pi}{2})$.

Зная, что $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$, получаем:

$f''(\frac{\pi}{2}) = -9 \cdot (-1) = 9$.

Ответ: 9

2) Дана функция $f(x) = \cos4x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Найдем первую производную $f'(x)$:

$f'(x) = (\cos4x)' = -\sin4x \cdot (4x)' = -4\sin4x$.

Найдем вторую производную $f''(x)$:

$f''(x) = (-4\sin4x)' = -4 \cdot \cos4x \cdot (4x)' = -4 \cdot \cos4x \cdot 4 = -16\cos4x$.

Подставим значение $x_0 = \frac{\pi}{4}$ в выражение для второй производной:

$f''(\frac{\pi}{4}) = -16\cos(4 \cdot \frac{\pi}{4}) = -16\cos(\pi)$.

Зная, что $\cos(\pi) = -1$, получаем:

$f''(\frac{\pi}{4}) = -16 \cdot (-1) = 16$.

Ответ: 16

3) Дана функция $f(x) = \sin^23x$ и точка $x_0 = -\frac{\pi}{2}$.

Представим функцию в виде $f(x) = (\sin3x)^2$.

Найдем первую производную $f'(x)$, используя цепное правило:

$f'(x) = 2\sin3x \cdot (\sin3x)' = 2\sin3x \cdot \cos3x \cdot (3x)' = 6\sin3x\cos3x$.

Для упрощения дальнейших вычислений воспользуемся формулой синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin2\alpha$:

$f'(x) = 3 \cdot (2\sin3x\cos3x) = 3\sin(2 \cdot 3x) = 3\sin6x$.

Теперь найдем вторую производную $f''(x)$ от упрощенного выражения:

$f''(x) = (3\sin6x)' = 3\cos6x \cdot (6x)' = 3\cos6x \cdot 6 = 18\cos6x$.

Подставим значение $x_0 = -\frac{\pi}{2}$ в выражение для второй производной:

$f''(-\frac{\pi}{2}) = 18\cos(6 \cdot (-\frac{\pi}{2})) = 18\cos(-3\pi)$.

Поскольку функция косинуса является четной, $\cos(-x) = \cos(x)$, то $\cos(-3\pi) = \cos(3\pi)$. Значение $\cos(3\pi) = -1$.

$f''(-\frac{\pi}{2}) = 18 \cdot (-1) = -18$.

Ответ: -18