Номер 54.10, страница 138, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

ПОДГОТОВЬТЕ СООБЩЕНИЕ

54.10. Якоб Бернулли — один из основателей теории вероятностей. Доказал частный случай закона больших чисел — теорему Бернулли. Пафнутий Львович Чебышев — величайший русский математик XIX века, основоположник петербургской математической школы, академик Петербургской академии наук (с 1859 г.) и еще 24 академий мира.

Якоб Бернулли

(1655—1705)

Пафнутий Львович

Чебышев

(1821—1894)

Якоб Бернулли (1655–1705)

Якоб Бернулли — выдающийся швейцарский математик, один из первых и ключевых исследователей в области теории вероятностей. Он принадлежал к знаменитой династии ученых Бернулли. Его главный труд, «Искусство предположений» (Ars Conjectandi), был опубликован уже после его смерти, в 1713 году. В этой работе Бернулли систематизировал известные на тот момент знания о вероятностях и ввел фундаментальные понятия.

Одним из центральных достижений Якоба Бернулли является доказательство первого варианта закона больших чисел, который получил название теорема Бернулли. Эта теорема устанавливает связь между теоретической вероятностью события и его относительной частотой в серии независимых испытаний. Испытания с двумя исходами («успех» или «неудача») и постоянной вероятностью успеха получили название схемы Бернулли.

Теорема Бернулли утверждает, что с вероятностью, сколь угодно близкой к 1, при достаточно большом числе испытаний $n$, относительная частота появления события $\frac{k}{n}$ (где $k$ — число «успехов») будет сколь угодно мало отличаться от его истинной вероятности $p$. Математически это выражается так: для любого $\epsilon > 0$ справедливо равенство:

$ \lim_{n \to \infty} P\left(\left|\frac{k}{n} - p\right| < \epsilon\right) = 1 $

Эта теорема стала краеугольным камнем математической статистики, поскольку она теоретически обосновывает возможность оценки вероятности на основе экспериментальных данных. Помимо теории вероятностей, Якоб Бернулли внес значительный вклад в развитие математического анализа (ввел термин «интеграл») и исследование различных кривых, таких как лемниската Бернулли и цепная линия.

Ответ: Якоб Бернулли — один из основателей теории вероятностей, автор фундаментального труда «Искусство предположений» и теоремы Бернулли (закона больших чисел), которая математически обосновала связь между относительной частотой и вероятностью события в длинной серии независимых испытаний.

Пафнутий Львович Чебышев (1821–1894)

Пафнутий Львович Чебышев — величайший русский математик и механик XIX века, основоположник знаменитой петербургской математической школы, оказавшей огромное влияние на развитие математики в России и во всем мире. Его научные интересы были чрезвычайно широки и охватывали теорию чисел, теорию вероятностей, теорию приближения функций и механику.

В области теории вероятностей Чебышев значительно развил и обобщил идеи своих предшественников, включая Якоба Бернулли. Он доказал закон больших чисел в гораздо более общей форме, чем теорема Бернулли. Ключевым инструментом для этого стало неравенство Чебышева, которое дает универсальную оценку вероятности отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Неравенство справедливо для любой случайной величины $X$, имеющей конечное математическое ожидание $E[X]$ и конечную дисперсию $D(X)$. Для любого числа $\epsilon > 0$ оно имеет вид:

$ P(|X - E[X]| \ge \epsilon) \le \frac{D(X)}{\epsilon^2} $

Это неравенство является одним из самых важных результатов в теории вероятностей благодаря своей общности. Чебышев также внес вклад в доказательство центральной предельной теоремы.

Помимо этого, Чебышев получил фундаментальные результаты в теории чисел, в частности, в области распределения простых чисел (доказал постулат Бертрана). Он является создателем теории приближения функций, где центральную роль играют многочлены Чебышева. Его работы в области механики привели к созданию новых типов механизмов, многие из которых носят его имя.

Ответ: Пафнутий Львович Чебышев — выдающийся русский математик, основатель петербургской математической школы, внесший фундаментальный вклад в теорию вероятностей (доказательство закона больших чисел в общей форме, неравенство Чебышева), теорию чисел и теорию приближения функций.