Номер 54.4, страница 137, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

54.4. Студент колледжа сдает 6 экзаменов. Вероятность сдачи каждого экзамена равна 0,5. Случайная величина $X$ — число сдавших экзаменов студентом. Постройте ряд распределения величины $X$.

Пусть $X$ — случайная величина, равная числу сданных студентом экзаменов. По условию, студент сдает $n=6$ экзаменов, и вероятность сдачи каждого экзамена $p=0,5$. Поскольку сдача каждого экзамена является независимым событием, мы имеем дело со схемой испытаний Бернулли. Следовательно, случайная величина $X$ подчиняется биномиальному закону распределения.

Вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение $k$ (т.е. студент сдаст ровно $k$ экзаменов), вычисляется по формуле Бернулли: $P(X=k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $n=6$ — число испытаний, $k$ — число "успехов" (сданных экзаменов), $p=0,5$ — вероятность "успеха", а $q=1-p=0,5$ — вероятность "неудачи" (несданного экзамена).

Подставим наши значения в формулу: $P(X=k) = C_6^k (0,5)^k (0,5)^{6-k} = C_6^k (0,5)^6 = C_6^k \cdot \frac{1}{64}$.

Возможные значения для $X$ — это целые числа от 0 до 6. Вычислим вероятности для каждого из этих значений, используя формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

При $k=0$: $P(X=0) = C_6^0 \cdot \frac{1}{64} = 1 \cdot \frac{1}{64} = \frac{1}{64}$.

При $k=1$: $P(X=1) = C_6^1 \cdot \frac{1}{64} = 6 \cdot \frac{1}{64} = \frac{6}{64}$.

При $k=2$: $P(X=2) = C_6^2 \cdot \frac{1}{64} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} \cdot \frac{1}{64} = 15 \cdot \frac{1}{64} = \frac{15}{64}$.

При $k=3$: $P(X=3) = C_6^3 \cdot \frac{1}{64} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \frac{1}{64} = 20 \cdot \frac{1}{64} = \frac{20}{64}$.

При $k=4$: $P(X=4) = C_6^4 \cdot \frac{1}{64} = C_6^2 \cdot \frac{1}{64} = 15 \cdot \frac{1}{64} = \frac{15}{64}$.

При $k=5$: $P(X=5) = C_6^5 \cdot \frac{1}{64} = C_6^1 \cdot \frac{1}{64} = 6 \cdot \frac{1}{64} = \frac{6}{64}$.

При $k=6$: $P(X=6) = C_6^6 \cdot \frac{1}{64} = 1 \cdot \frac{1}{64} = \frac{1}{64}$.

Ряд распределения случайной величины $X$ представляет собой таблицу, в которой перечислены все возможные значения $X$ и соответствующие им вероятности.

Ответ: