Номер 54.1, страница 137, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

54.1. 1) Производится серия из 6 независимых испытаний. Событие X имеет вероятность $p = 0,6$. Найдите вероятность появления события X при этих испытаниях четыре раза.

2) Производится серия из 8 независимых испытаний. Событие X имеет вероятность $p = 0,7$. Найдите вероятность появления события X при этих испытаниях пять раз.

1) Для решения этой задачи используется формула Бернулли, которая позволяет найти вероятность того, что в серии из $n$ независимых испытаний некоторое событие произойдет ровно $k$ раз. Формула имеет вид:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

где:

$n$ – общее число испытаний;

$k$ – число появлений события;

$p$ – вероятность появления события в одном испытании;

$q$ – вероятность непоявления события в одном испытании, $q = 1 - p$;

$C_n^k$ – число сочетаний из $n$ по $k$, которое рассчитывается как $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В данном случае у нас есть следующие параметры:

$n = 6$ (серия из 6 испытаний);

$k = 4$ (событие X должно появиться четыре раза);

$p = 0.6$ (вероятность события X);

$q = 1 - p = 1 - 0.6 = 0.4$.

Подставляем эти значения в формулу Бернулли:

$P_6(4) = C_6^4 \cdot (0.6)^4 \cdot (0.4)^{6-4} = C_6^4 \cdot (0.6)^4 \cdot (0.4)^2$

Сначала вычислим число сочетаний $C_6^4$:

$C_6^4 = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 6}{1 \cdot 2} = 15$

Теперь вычислим степени:

$(0.6)^4 = 0.1296$

$(0.4)^2 = 0.16$

Перемножаем все полученные значения:

$P_6(4) = 15 \cdot 0.1296 \cdot 0.16 = 0.31104$

Ответ: $0.31104$

2) Используем ту же формулу Бернулли: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$.

В этом случае параметры следующие:

$n = 8$ (серия из 8 испытаний);

$k = 5$ (событие X должно появиться пять раз);

$p = 0.7$ (вероятность события X);

$q = 1 - p = 1 - 0.7 = 0.3$.

Подставляем значения в формулу:

$P_8(5) = C_8^5 \cdot (0.7)^5 \cdot (0.3)^{8-5} = C_8^5 \cdot (0.7)^5 \cdot (0.3)^3$

Вычислим число сочетаний $C_8^5$:

$C_8^5 = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8!}{5! \cdot 3!} = \frac{6 \cdot 7 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 56$

Теперь вычислим степени:

$(0.7)^5 = 0.16807$

$(0.3)^3 = 0.027$

Перемножаем все значения:

$P_8(5) = 56 \cdot 0.16807 \cdot 0.027 = 0.25412184$

Ответ: $0.25412184$