Номер 54.5, страница 137, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

54.5. В ящике 5 желтых шаров и 3 красных. Вытаскиваем 4 шара. Рассмотрим событие $A$ — появление желтого шара. Составьте ряд распределения случайной величины $A$.

Пусть случайная величина A — это количество желтых шаров среди 4 вытащенных. Всего в ящике находится $5 + 3 = 8$ шаров.

Найдем возможные значения, которые может принимать случайная величина A. Мы вытаскиваем 4 шара. Поскольку в ящике всего 3 красных шара, мы не можем вытащить 4 красных шара. Это означает, что как минимум $4 - 3 = 1$ шар будет желтым. Максимальное количество желтых шаров, которое можно вытащить, ограничено общим количеством вытаскиваемых шаров, то есть 4. Таким образом, возможные значения для A: {1, 2, 3, 4}.

Для построения ряда распределения нужно найти вероятности $P(A=k)$ для каждого возможного значения $k$.

Общее число элементарных исходов — это количество способов выбрать 4 шара из 8. Оно равно числу сочетаний из 8 по 4:

$N = C_8^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70$.

Число благоприятствующих исходов для события $A=k$ (вытащено $k$ желтых и $4-k$ красных шаров) находится по правилу произведения для сочетаний: $N_k = C_5^k \cdot C_3^{4-k}$.

Вероятность события $A=k$ вычисляется по классической формуле вероятности (гипергеометрическое распределение):

$P(A=k) = \frac{N_k}{N} = \frac{C_5^k \cdot C_3^{4-k}}{C_8^4}$.

Рассчитаем вероятности для каждого значения $k$:

1. Вероятность вытащить 1 желтый шар (и 3 красных), $k=1$:

$P(A=1) = \frac{C_5^1 \cdot C_3^3}{70} = \frac{5 \cdot 1}{70} = \frac{5}{70} = \frac{1}{14}$.

2. Вероятность вытащить 2 желтых шара (и 2 красных), $k=2$:

$P(A=2) = \frac{C_5^2 \cdot C_3^2}{70} = \frac{\frac{5!}{2!3!} \cdot \frac{3!}{2!1!}}{70} = \frac{10 \cdot 3}{70} = \frac{30}{70} = \frac{3}{7}$.

3. Вероятность вытащить 3 желтых шара (и 1 красный), $k=3$:

$P(A=3) = \frac{C_5^3 \cdot C_3^1}{70} = \frac{\frac{5!}{3!2!} \cdot 3}{70} = \frac{10 \cdot 3}{70} = \frac{30}{70} = \frac{3}{7}$.

4. Вероятность вытащить 4 желтых шара (и 0 красных), $k=4$:

$P(A=4) = \frac{C_5^4 \cdot C_3^0}{70} = \frac{5 \cdot 1}{70} = \frac{5}{70} = \frac{1}{14}$.

Для проверки убедимся, что сумма всех вероятностей равна 1:

$\sum P(A=k) = \frac{5}{70} + \frac{30}{70} + \frac{30}{70} + \frac{5}{70} = \frac{70}{70} = 1$.

Все расчеты верны. Теперь можно составить искомый ряд распределения.

Ответ:

Ряд распределения случайной величины A: