Вопросы, страница 137, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Перечислите виды распределения дискретных случайных величин.

2. В каких случаях используют биномиальное распределение дискретной случайной величины X?

3. В каких случаях используют геометрическое распределение дискретной случайной величины X?

4. В каких случаях используют гипергеометрическое распределение дискретной случайной величины X?

5. В чем заключается суть закона больших чисел?

1. Перечислите виды распределения дискретных случайных величин.

К основным и наиболее часто используемым видам распределений дискретных случайных величин относятся:

• Распределение Бернулли: описывает эксперимент с двумя исходами («успех»/«неудача»).

• Биномиальное распределение: моделирует число «успехов» в фиксированной серии независимых испытаний Бернулли.

• Геометрическое распределение: определяет количество испытаний до первого «успеха».

• Гипергеометрическое распределение: описывает число «успехов» в выборке без возвращения из конечной совокупности.

• Распределение Пуассона: моделирует количество событий, происходящих за фиксированный интервал времени или пространства, если эти события происходят с известной средней частотой и независимо друг от друга.

• Равномерное дискретное распределение: все возможные значения случайной величины равновероятны.

Ответ:

2. В каких случаях используют биномиальное распределение дискретной случайной величины X?

Биномиальное распределение используется для описания случайной величины $X$, представляющей собой число «успехов» в серии испытаний, при выполнении следующих четырёх условий:

1. Проводится фиксированное количество испытаний, $n$.

2. Все испытания являются независимыми друг от друга.

3. Каждое испытание имеет ровно два возможных исхода, условно называемых «успех» и «неудача».

4. Вероятность «успеха», обозначаемая как $p$, одинакова для всех испытаний.

Типичный пример: подсчет количества выпадений «орла» при 10 подбрасываниях монеты. Вероятность получить ровно $k$ успехов в $n$ испытаниях рассчитывается по формуле Бернулли: $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$.

Ответ:

3. В каких случаях используют геометрическое распределение дискретной случайной величины X?

Геометрическое распределение используется, когда нас интересует номер первого «успешного» испытания в серии независимых испытаний Бернулли. Условия его применения таковы:

1. Проводится последовательность независимых испытаний.

2. Каждое испытание имеет два исхода: «успех» или «неудача».

3. Вероятность «успеха» $p$ постоянна для каждого испытания.

4. Случайная величина $X$ — это номер испытания, в котором был зафиксирован первый «успех».

Например, это распределение описывает количество бросков игральной кости до первого выпадения шестёрки. Вероятность того, что первый успех произойдет в $k$-м испытании, равна $P(X=k) = (1-p)^{k-1}p$.

Ответ:

4. В каких случаях используют гипергеометрическое распределение дискретной случайной величины X?

Гипергеометрическое распределение применяется для моделирования числа «успехов» в выборке, отобранной без возвращения из конечной совокупности. В отличие от биномиального, испытания здесь зависимы. Условия использования:

1. Имеется конечная совокупность, состоящая из $N$ элементов.

2. Совокупность разделена на две группы: $K$ элементов обладают интересующим нас признаком («успехи») и $N-K$ элементов им не обладают («неудачи»).

3. Из совокупности случайным образом извлекается выборка размером $n$ элементов, причем каждый элемент может быть выбран только один раз (без возвращения).

4. Случайная величина $X$ — это число элементов с искомым признаком («успехов») в полученной выборке.

Например, это распределение используется для расчета вероятности вытащить 2 белых шара из урны, содержащей 5 белых и 10 черных шаров, если всего извлекается 4 шара. Вероятность получить ровно $k$ успехов вычисляется по формуле: $P(X=k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$.

Ответ:

5. В чем заключается суть закона больших чисел?

Закон больших чисел — это один из ключевых принципов теории вероятностей, который устанавливает связь между теоретическими и практическими характеристиками случайных процессов. Его суть заключается в следующем: среднее арифметическое результатов большого числа независимых и одинаково распределенных случайных величин сходится (приближается) к их общему математическому ожиданию (теоретическому среднему).

Иными словами, чем больше раз мы проводим эксперимент, тем ближе будет средний результат наших наблюдений к его предсказанному теоретическому значению. Например, при многократном бросании монеты частота выпадения «орла» (отношение числа выпавших «орлов» к общему числу бросков) будет стремиться к вероятности этого события, то есть к $0.5$.

Математически, если $X_1, X_2, \dots, X_n$ — независимые, одинаково распределенные случайные величины с математическим ожиданием $E[X_i] = \mu$, то их выборочное среднее $\bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$ сходится к $\mu$ при $n \to \infty$. Этот закон служит теоретическим фундаментом для многих методов статистики и оправдывает использование выборочных средних для оценки истинных средних значений.

Ответ: