Номер 54.7, страница 138, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

54.7. 1) Найдите вероятность того, что при 8 бросках игральной кости, 2 очка выпадут не более трех раз.

2) Найдите вероятность того, что при 10 бросках игральной кости, 4 очка выпадут не более двух раз.

1)Эта задача решается с использованием формулы Бернулли для серии независимых испытаний. У нас есть $n=8$ бросков игральной кости. "Успехом" будем считать выпадение 2 очков.

Вероятность "успеха" в одном испытании (броске) $p = \frac{1}{6}$.

Вероятность "неудачи" (выпадение любой другой грани) $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

Нам нужно найти вероятность того, что 2 очка выпадут не более трех раз. Это означает, что число "успехов" $k$ может быть равно 0, 1, 2 или 3. Искомая вероятность $P(k \le 3)$ равна сумме вероятностей этих событий:

$P_8(k \le 3) = P_8(0) + P_8(1) + P_8(2) + P_8(3)$.

Вероятность $k$ успехов в $n$ испытаниях вычисляется по формуле Бернулли: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ – число сочетаний.

Вычислим каждую вероятность:

$P_8(0) = C_8^0 (\frac{1}{6})^0 (\frac{5}{6})^{8-0} = 1 \cdot 1 \cdot (\frac{5}{6})^8 = \frac{5^8}{6^8}$

$P_8(1) = C_8^1 (\frac{1}{6})^1 (\frac{5}{6})^{8-1} = 8 \cdot \frac{1}{6} \cdot (\frac{5}{6})^7 = \frac{8 \cdot 5^7}{6^8}$

$P_8(2) = C_8^2 (\frac{1}{6})^2 (\frac{5}{6})^{8-2} = \frac{8 \cdot 7}{2} \cdot (\frac{1}{6})^2 (\frac{5}{6})^6 = \frac{28 \cdot 5^6}{6^8}$

$P_8(3) = C_8^3 (\frac{1}{6})^3 (\frac{5}{6})^{8-3} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot (\frac{1}{6})^3 (\frac{5}{6})^5 = \frac{56 \cdot 5^5}{6^8}$

Теперь сложим эти вероятности:

$P_8(k \le 3) = \frac{5^8}{6^8} + \frac{8 \cdot 5^7}{6^8} + \frac{28 \cdot 5^6}{6^8} + \frac{56 \cdot 5^5}{6^8} = \frac{5^8 + 8 \cdot 5^7 + 28 \cdot 5^6 + 56 \cdot 5^5}{6^8}$

Вынесем общий множитель $5^5$ в числителе:

$P_8(k \le 3) = \frac{5^5 (5^3 + 8 \cdot 5^2 + 28 \cdot 5 + 56)}{6^8} = \frac{5^5 (125 + 8 \cdot 25 + 140 + 56)}{6^8}$

$P_8(k \le 3) = \frac{5^5 (125 + 200 + 140 + 56)}{6^8} = \frac{3125 \cdot 521}{1679616} = \frac{1628125}{1679616}$

Ответ: $ \frac{1628125}{1679616} $

2)Эта задача также решается с помощью формулы Бернулли. Здесь проводится $n=10$ бросков игральной кости. "Успехом" будем считать выпадение 4 очков.

Вероятность "успеха" в одном броске $p = \frac{1}{6}$.

Вероятность "неудачи" $q = 1 - p = \frac{5}{6}$.

Нам нужно найти вероятность того, что 4 очка выпадут не более двух раз. Это означает, что число "успехов" $k$ может быть равно 0, 1 или 2. Искомая вероятность $P(k \le 2)$ равна сумме вероятностей этих событий:

$P_{10}(k \le 2) = P_{10}(0) + P_{10}(1) + P_{10}(2)$.

Используем ту же формулу Бернулли: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$.

Вычислим каждую вероятность:

$P_{10}(0) = C_{10}^0 (\frac{1}{6})^0 (\frac{5}{6})^{10-0} = 1 \cdot 1 \cdot (\frac{5}{6})^{10} = \frac{5^{10}}{6^{10}}$

$P_{10}(1) = C_{10}^1 (\frac{1}{6})^1 (\frac{5}{6})^{10-1} = 10 \cdot \frac{1}{6} \cdot (\frac{5}{6})^9 = \frac{10 \cdot 5^9}{6^{10}}$

$P_{10}(2) = C_{10}^2 (\frac{1}{6})^2 (\frac{5}{6})^{10-2} = \frac{10 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{1}{6})^2 (\frac{5}{6})^8 = \frac{45 \cdot 5^8}{6^{10}}$

Сложим эти вероятности:

$P_{10}(k \le 2) = \frac{5^{10}}{6^{10}} + \frac{10 \cdot 5^9}{6^{10}} + \frac{45 \cdot 5^8}{6^{10}} = \frac{5^{10} + 10 \cdot 5^9 + 45 \cdot 5^8}{6^{10}}$

Вынесем общий множитель $5^8$ в числителе:

$P_{10}(k \le 2) = \frac{5^8 (5^2 + 10 \cdot 5 + 45)}{6^{10}} = \frac{5^8 (25 + 50 + 45)}{6^{10}}$

$P_{10}(k \le 2) = \frac{5^8 \cdot 120}{6^{10}} = \frac{5^8 \cdot (2^3 \cdot 3 \cdot 5)}{(2 \cdot 3)^{10}} = \frac{5^9 \cdot 2^3 \cdot 3}{2^{10} \cdot 3^{10}} = \frac{5^9}{2^7 \cdot 3^9}$

Вычислим числитель и знаменатель:

$5^9 = 1953125$

$2^7 \cdot 3^9 = 128 \cdot 19683 = 2519424$

Таким образом, $P_{10}(k \le 2) = \frac{1953125}{2519424}$

Ответ: $ \frac{1953125}{2519424} $