Номер 53.14, страница 132, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

53.14. В партии из 10 деталей содержится 3 нестандартных. Наудачу отобраны 2 детали. Найдите математическое ожидание дискретной случайной величины $X$ — числа нестандартных деталей среди двух отобранных.

Пусть $X$ — дискретная случайная величина, равная числу нестандартных деталей среди двух отобранных. Всего в партии 10 деталей, из которых 3 нестандартные и, соответственно, $10 - 3 = 7$ стандартных. Мы отбираем 2 детали.

Случайная величина $X$ может принимать следующие значения: 0, 1 или 2.

Найдем вероятности для каждого из этих значений. Общее число способов выбрать 2 детали из 10 равно числу сочетаний:

$N = C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$.

1. Найдем вероятность того, что среди двух отобранных деталей нет нестандартных ($X=0$). Это означает, что обе детали стандартные. Число способов выбрать 2 стандартные детали из 7 равно:

$N(X=0) = C_3^0 \cdot C_7^2 = 1 \cdot \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21$.

Вероятность этого события:

$P(X=0) = \frac{N(X=0)}{N} = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}$.

2. Найдем вероятность того, что среди двух отобранных деталей одна нестандартная ($X=1$). Это означает, что мы выбираем 1 нестандартную деталь из 3 и 1 стандартную деталь из 7. Число способов сделать это:

$N(X=1) = C_3^1 \cdot C_7^1 = 3 \cdot 7 = 21$.

Вероятность этого события:

$P(X=1) = \frac{N(X=1)}{N} = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}$.

3. Найдем вероятность того, что среди двух отобранных деталей обе нестандартные ($X=2$). Это означает, что мы выбираем 2 нестандартные детали из 3 и 0 стандартных деталей из 7. Число способов сделать это:

$N(X=2) = C_3^2 \cdot C_7^0 = \frac{3!}{2!(3-2)!} \cdot 1 = \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 1} = 3$.

Вероятность этого события:

$P(X=2) = \frac{N(X=2)}{N} = \frac{3}{45} = \frac{1}{15}$.

Проверим, что сумма вероятностей равна 1:

$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = \frac{21}{45} + \frac{21}{45} + \frac{3}{45} = \frac{45}{45} = 1$.

Теперь мы можем найти математическое ожидание (среднее значение) $M(X)$ по формуле:

$M(X) = \sum_{i} x_i \cdot p_i = x_0 \cdot P(X=0) + x_1 \cdot P(X=1) + x_2 \cdot P(X=2)$.

Подставим наши значения:

$M(X) = 0 \cdot \frac{7}{15} + 1 \cdot \frac{7}{15} + 2 \cdot \frac{1}{15} = 0 + \frac{7}{15} + \frac{2}{15} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} = 0.6$.

Ответ: $0.6$.