Номер 53.10, страница 131, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

53.10. Заданы законы распределения точного попадания двух стрелков при одном выстреле (табл. 45, 46):

Таблица 45

X 8 8 10

P 0,3 0,2 0,5

Таблица 46

Y 8 9 10

P 0,5 0,2 0,3

Какой стрелок точнее попадает в цель?

Чтобы определить, какой из двух стрелков точнее попадает в цель, необходимо сравнить числовые характеристики их законов распределения: математическое ожидание и дисперсию (или среднеквадратическое отклонение). Математическое ожидание покажет среднее количество очков, которое набирает стрелок, а дисперсия — насколько сильно его результаты отклоняются от среднего, то есть его стабильность.

Анализ стрельбы первого стрелка (случайная величина X)

Закон распределения для первого стрелка (таблица 45) имеет две колонки со значением 8. Для корректного анализа необходимо объединить вероятности для этого значения: $P(X=8) = 0,3 + 0,2 = 0,5$. Таким образом, закон распределения для первого стрелка выглядит так: $P(X=8) = 0,5$ и $P(X=10) = 0,5$.

Найдем математическое ожидание $M(X)$ (средний результат):

$M(X) = \sum x_i p_i = 8 \cdot 0,5 + 10 \cdot 0,5 = 4 + 5 = 9$.

Теперь найдем дисперсию $D(X)$, которая характеризует разброс значений. Для этого сначала вычислим $M(X^2)$:

$M(X^2) = \sum x_i^2 p_i = 8^2 \cdot 0,5 + 10^2 \cdot 0,5 = 64 \cdot 0,5 + 100 \cdot 0,5 = 32 + 50 = 82$.

Дисперсия вычисляется по формуле $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$:

$D(X) = 82 - 9^2 = 82 - 81 = 1$.

Анализ стрельбы второго стрелка (случайная величина Y)

Закон распределения для второго стрелка (таблица 46): $P(Y=8)=0,5$, $P(Y=9)=0,2$ и $P(Y=10)=0,3$.

Найдем математическое ожидание $M(Y)$:

$M(Y) = \sum y_i p_i = 8 \cdot 0,5 + 9 \cdot 0,2 + 10 \cdot 0,3 = 4 + 1,8 + 3 = 8,8$.

Найдем дисперсию $D(Y)$. Сначала вычислим $M(Y^2)$:

$M(Y^2) = \sum y_i^2 p_i = 8^2 \cdot 0,5 + 9^2 \cdot 0,2 + 10^2 \cdot 0,3 = 64 \cdot 0,5 + 81 \cdot 0,2 + 100 \cdot 0,3 = 32 + 16,2 + 30 = 78,2$.

Дисперсия $D(Y)$ равна:

$D(Y) = M(Y^2) - [M(Y)]^2 = 78,2 - (8,8)^2 = 78,2 - 77,44 = 0,76$.

Сравнение и вывод

Сравним полученные характеристики:

1. Математическое ожидание: $M(X) = 9$, $M(Y) = 8,8$. Так как $M(X) > M(Y)$, первый стрелок в среднем набирает больше очков.

2. Дисперсия: $D(X) = 1$, $D(Y) = 0,76$. Так как $D(Y) < D(X)$, результаты второго стрелка более стабильны и имеют меньший разброс. Меньшая дисперсия говорит о большей "кучности" или точности в смысле постоянства.

Таким образом, первый стрелок более результативен, а второй — более стабилен. В задачах такого типа, если не оговорено иное, главным критерием "лучшей" стрельбы является математическое ожидание, так как оно отражает средний результат на длинной дистанции. Более высокий средний балл — показатель более высокого мастерства.

Ответ: Первый стрелок попадает в цель точнее (результативнее), так как его математическое ожидание (среднее количество очков) равно 9, что больше, чем у второго стрелка (8,8).