Номер 53.9, страница 131, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

53.9. Вычислите $M(X+Y)$, $D(X+Y)$, если независимые случайные величины $X$ и $Y$ распределены по следующему закону (табл. 43, 44):

Таблица 43

Значения $X$: 6, 12, 14, 20

Вероятности $P$: 0,25, 0,3, 0,2, 0,25

Таблица 44

Значения $Y$: 3, 8, 12, 16

Вероятности $P$: 0,2, 0,3, 0,2, 0,3

M(X+Y)

Для нахождения математического ожидания суммы случайных величин используется свойство аддитивности математического ожидания: $M(X+Y) = M(X) + M(Y)$. Это свойство справедливо для любых случайных величин, в том числе и для независимых, как указано в условии задачи.

Сначала вычислим математическое ожидание для каждой случайной величины отдельно.

Для случайной величины X (согласно Таблице 43):

Математическое ожидание $M(X)$ вычисляется как сумма произведений значений случайной величины на их вероятности:

$M(X) = \sum x_i p_i = 6 \cdot 0,25 + 12 \cdot 0,3 + 14 \cdot 0,2 + 20 \cdot 0,25 = 1,5 + 3,6 + 2,8 + 5,0 = 12,9$

Для случайной величины Y (согласно Таблице 44):

$M(Y) = \sum y_i p_i = 3 \cdot 0,2 + 8 \cdot 0,3 + 12 \cdot 0,2 + 16 \cdot 0,3 = 0,6 + 2,4 + 2,4 + 4,8 = 10,2$

Теперь, зная $M(X)$ и $M(Y)$, мы можем найти $M(X+Y)$:

$M(X+Y) = M(X) + M(Y) = 12,9 + 10,2 = 23,1$

Ответ: $M(X+Y) = 23,1$

D(X+Y)

Поскольку случайные величины X и Y независимы, дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий: $D(X+Y) = D(X) + D(Y)$.

Вычислим дисперсию для каждой случайной величины по формуле $D(Z) = M(Z^2) - [M(Z)]^2$.

Для случайной величины X:

Сначала найдем $M(X^2)$:

$M(X^2) = \sum x_i^2 p_i = 6^2 \cdot 0,25 + 12^2 \cdot 0,3 + 14^2 \cdot 0,2 + 20^2 \cdot 0,25 = 36 \cdot 0,25 + 144 \cdot 0,3 + 196 \cdot 0,2 + 400 \cdot 0,25 = 9 + 43,2 + 39,2 + 100 = 191,4$

Теперь вычислим дисперсию $D(X)$:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 191,4 - (12,9)^2 = 191,4 - 166,41 = 24,99$

Для случайной величины Y:

Сначала найдем $M(Y^2)$:

$M(Y^2) = \sum y_i^2 p_i = 3^2 \cdot 0,2 + 8^2 \cdot 0,3 + 12^2 \cdot 0,2 + 16^2 \cdot 0,3 = 9 \cdot 0,2 + 64 \cdot 0,3 + 144 \cdot 0,2 + 256 \cdot 0,3 = 1,8 + 19,2 + 28,8 + 76,8 = 126,6$

Теперь вычислим дисперсию $D(Y)$:

$D(Y) = M(Y^2) - [M(Y)]^2 = 126,6 - (10,2)^2 = 126,6 - 104,04 = 22,56$

Наконец, зная $D(X)$ и $D(Y)$, мы можем найти $D(X+Y)$:

$D(X+Y) = D(X) + D(Y) = 24,99 + 22,56 = 47,55$

Ответ: $D(X+Y) = 47,55$