Номер 53.5, страница 130, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

53.5. Независимые случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения вероятностей (табл. 38, 39):

Таблица 38

Таблица 39

Найдите математическое ожидание случайной величины:

1) $Z = X + Y$; 2) $Z = 2X + 3Y$; 3) $Z = X \cdot Y$.

Для решения задачи сначала найдем математические ожидания $M(X)$ и $M(Y)$ для заданных случайных величин X и Y. По условию, величины X и Y независимы.

Закон распределения для X:

$x_1 = 1$ с вероятностью $p_1 = 0,7$

$x_2 = 3$ с вероятностью $p_2 = 0,3$

Закон распределения для Y:

$y_1 = 2$ с вероятностью $q_1 = 0,6$

$y_2 = 4$ с вероятностью $q_2 = 0,4$

Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется как сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности: $M(V) = \sum v_i p_i$.

Вычислим математическое ожидание для X:

$M(X) = x_1 \cdot p_1 + x_2 \cdot p_2 = 1 \cdot 0,7 + 3 \cdot 0,3 = 0,7 + 0,9 = 1,6$.

Вычислим математическое ожидание для Y:

$M(Y) = y_1 \cdot q_1 + y_2 \cdot q_2 = 2 \cdot 0,6 + 4 \cdot 0,4 = 1,2 + 1,6 = 2,8$.

Теперь, используя свойства математического ожидания, найдем $M(Z)$ для каждого случая.

1) Z = X + Y;

Для нахождения математического ожидания суммы случайных величин используется свойство аддитивности: математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий. Это свойство справедливо для любых случайных величин.

$M(Z) = M(X + Y) = M(X) + M(Y)$

Подставляем ранее вычисленные значения $M(X)$ и $M(Y)$:

$M(Z) = 1,6 + 2,8 = 4,4$.

Ответ: $4,4$.

2) Z = 2X + 3Y;

Используем свойства линейности математического ожидания:

1. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: $M(cX) = cM(X)$.

2. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: $M(X+Y) = M(X)+M(Y)$.

Комбинируя эти свойства, получаем: $M(aX + bY) = aM(X) + bM(Y)$. В данном случае $a=2$ и $b=3$.

$M(Z) = M(2X + 3Y) = 2M(X) + 3M(Y)$

Подставляем значения $M(X)$ и $M(Y)$:

$M(Z) = 2 \cdot 1,6 + 3 \cdot 2,8 = 3,2 + 8,4 = 11,6$.

Ответ: $11,6$.

3) Z = X · Y.

Для нахождения математического ожидания произведения случайных величин используется следующее свойство: если случайные величины X и Y независимы, то математическое ожидание их произведения равно произведению их математических ожиданий.

$M(X \cdot Y) = M(X) \cdot M(Y)$

По условию задачи величины X и Y независимы, поэтому мы можем применить это свойство.

$M(Z) = M(X \cdot Y) = M(X) \cdot M(Y)$

Подставляем найденные значения:

$M(Z) = 1,6 \cdot 2,8 = 4,48$.

Ответ: $4,48$.