Номер 53.12, страница 132, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

53.12. $X(-1; 0; 1)$ и $M(X) = 0.1$; $M(X^2) = 0.9$. Найдите вероятности, соответствующие значениям случайной величины, и составьте закон распределения.

Пусть случайная величина X принимает значения $x_1 = -1$, $x_2 = 0$ и $x_3 = 1$ с соответствующими неизвестными вероятностями $p_1$, $p_2$ и $p_3$.

Основное свойство дискретного распределения вероятностей заключается в том, что сумма всех вероятностей равна единице. Таким образом, мы можем записать первое уравнение:

$p_1 + p_2 + p_3 = 1$ (1)

Математическое ожидание (среднее значение) $M(X)$ дискретной случайной величины вычисляется по формуле $M(X) = \sum x_i p_i$. Для нашей задачи:

$M(X) = (-1) \cdot p_1 + 0 \cdot p_2 + 1 \cdot p_3 = -p_1 + p_3$

По условию задачи $M(X) = 0,1$, что дает нам второе уравнение:

$-p_1 + p_3 = 0,1$ (2)

Математическое ожидание квадрата случайной величины $M(X^2)$ вычисляется по формуле $M(X^2) = \sum x_i^2 p_i$. Для нашей задачи значения $X^2$ будут $(-1)^2=1$, $0^2=0$, $1^2=1$. Тогда:

$M(X^2) = (-1)^2 \cdot p_1 + 0^2 \cdot p_2 + 1^2 \cdot p_3 = 1 \cdot p_1 + 0 \cdot p_2 + 1 \cdot p_3 = p_1 + p_3$

По условию $M(X^2) = 0,9$, что дает нам третье уравнение:

$p_1 + p_3 = 0,9$ (3)

Теперь у нас есть система из трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

$\begin{cases}p_1 + p_2 + p_3 = 1 \\-p_1 + p_3 = 0,1 \\p_1 + p_3 = 0,9\end{cases}$

Для нахождения $p_1$ и $p_3$ решим систему из уравнений (2) и (3). Сложим эти два уравнения:

$(-p_1 + p_3) + (p_1 + p_3) = 0,1 + 0,9$

$2p_3 = 1,0$

$p_3 = 0,5$

Подставим найденное значение $p_3$ в уравнение (3):

$p_1 + 0,5 = 0,9$

$p_1 = 0,9 - 0,5$

$p_1 = 0,4$

Теперь, зная $p_1$ и $p_3$, мы можем найти $p_2$ из уравнения (1):

$0,4 + p_2 + 0,5 = 1$

$0,9 + p_2 = 1$

$p_2 = 1 - 0,9$

$p_2 = 0,1$

Итак, мы нашли вероятности, соответствующие значениям случайной величины: $P(X=-1) = 0,4$, $P(X=0) = 0,1$, $P(X=1) = 0,5$.

Закон распределения случайной величины X можно представить в виде таблицы:

Ответ: Вероятности, соответствующие значениям случайной величины -1, 0 и 1, равны 0,4, 0,1 и 0,5 соответственно. Закон распределения представлен в таблице выше.