Вопросы, страница 129, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Перечислите важные числовые характеристики дискретных случайных величин.

2. Какие данные нужны для вычисления математического ожидания дискретной случайной величины $X$?

3. Что называется отклонением дискретной случайной величины?

4. Чем является мода дискретной случайной величины $X$?

1. Перечислите важные числовые характеристики дискретных случайных величин.К основным числовым характеристикам, которые описывают распределение дискретной случайной величины, относятся:

1. Математическое ожидание ($M(X)$ или $E(X)$) — это средневзвешенное значение всех возможных значений случайной величины, где в качестве весов выступают их вероятности. Оно характеризует центральную тенденцию или "центр тяжести" распределения.

2. Дисперсия ($D(X)$ или $Var(X)$) — это мера разброса или изменчивости значений случайной величины относительно её математического ожидания. Она вычисляется как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: $D(X) = M((X - M(X))^2)$.

3. Среднее квадратическое отклонение ($\sigma(X)$) — это корень квадратный из дисперсии ($\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$). Эта характеристика также показывает меру разброса, но, в отличие от дисперсии, выражается в тех же единицах, что и сама случайная величина, что делает её более наглядной.

4. Мода ($Mo(X)$) — это значение случайной величины, которое имеет наибольшую вероятность появления.

Ответ: Важнейшие числовые характеристики дискретных случайных величин — это математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и мода.

2. Какие данные нужны для вычисления математического ожидания дискретной случайной величины X?Для вычисления математического ожидания дискретной случайной величины $X$ необходимо знать её закон распределения вероятностей. Закон распределения — это соответствие между всеми возможными значениями, которые может принимать случайная величина, и их вероятностями. Обычно он задается в виде таблицы:

X: $x_1, x_2, ..., x_n$

P: $p_1, p_2, ..., p_n$

где $x_i$ — возможные значения величины $X$, а $p_i$ — соответствующие им вероятности, причём $\sum_{i=1}^{n} p_i = 1$.Математическое ожидание вычисляется по формуле как сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности:$M(X) = x_1p_1 + x_2p_2 + ... + x_np_n = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$.

Ответ: Для вычисления математического ожидания нужно знать все возможные значения, которые может принимать дискретная случайная величина, и соответствующие им вероятности.

3. Что называется отклонением дискретной случайной величины?Отклонением дискретной случайной величины $X$ от её математического ожидания $M(X)$ называется разность между значением, которое приняла случайная величина в результате испытания, и её математическим ожиданием. Если $X$ принимает значение $x_i$, то отклонение равно $x_i - M(X)$. Отклонение показывает, насколько конкретное значение случайной величины отличается от её среднего (ожидаемого) значения. Отклонение может быть положительным, если значение больше математического ожидания, отрицательным, если меньше, и равным нулю, если значение совпадает с математическим ожиданием. Сама разность $X - M(X)$ также является случайной величиной.

Ответ: Отклонением дискретной случайной величины называется разность между этой случайной величиной и её математическим ожиданием.

4. Чем является мода дискретной случайной величины X?Модой ($Mo(X)$) дискретной случайной величины $X$ называется её наиболее вероятное значение. Другими словами, это то значение, которое случайная величина принимает с наибольшей вероятностью по сравнению со всеми остальными возможными значениями. Если закон распределения задан таблицей, то мода — это то значение $x_k$, для которого соответствующая вероятность $p_k$ является максимальной.

У случайной величины может быть:

• одна мода (унимодальное распределение);

• две или более моды (мультимодальное распределение), если несколько значений имеют одинаковую максимальную вероятность;

• мода может отсутствовать, если все значения равновероятны (например, при броске игральной кости).

Ответ: Мода дискретной случайной величины X — это её значение, обладающее наибольшей вероятностью.