Номер 52.17, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

52.17. Найдите промежутки монотонности функции:

1) $y = 5 - 2x^2 + x^4$;

2) $y = \frac{x}{2} - \frac{2}{x}$;

3) $y = -\frac{x}{3} + \frac{3}{x}$.

1) $y = 5 - 2x^2 + x^4$

Чтобы найти промежутки монотонности функции, необходимо найти ее производную и определить ее знак. Промежутки, где производная положительна, соответствуют возрастанию функции, а где отрицательна — убыванию.

1. Область определения функции. Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции. Перепишем функцию для удобства: $y = x^4 - 2x^2 + 5$.

$y' = (x^4 - 2x^2 + 5)' = 4x^3 - 4x$.

3. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$.

$4x^3 - 4x = 0$

$4x(x^2 - 1) = 0$

$4x(x - 1)(x + 1) = 0$

Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

4. Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$. Определим знак производной в каждом интервале.

- На интервале $(-\infty; -1)$: возьмем $x = -2$. $y'(-2) = 4(-2)((-2)^2 - 1) = -8(3) = -24 < 0$. Функция убывает.

- На интервале $(-1; 0)$: возьмем $x = -0.5$. $y'(-0.5) = 4(-0.5)((-0.5)^2 - 1) = -2(0.25 - 1) = 1.5 > 0$. Функция возрастает.

- На интервале $(0; 1)$: возьмем $x = 0.5$. $y'(0.5) = 4(0.5)((0.5)^2 - 1) = 2(0.25 - 1) = -1.5 < 0$. Функция убывает.

- На интервале $(1; +\infty)$: возьмем $x = 2$. $y'(2) = 4(2)(2^2 - 1) = 8(3) = 24 > 0$. Функция возрастает.

5. Запишем промежутки монотонности, включая концы интервалов, так как функция непрерывна.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-1; 0]$ и $[1; +\infty)$; убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$.

2) $y = \frac{x}{2} - \frac{2}{x}$

1. Область определения функции. Функция не определена, когда знаменатель равен нулю, то есть при $x=0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Найдем производную функции. Представим функцию в виде $y = \frac{1}{2}x - 2x^{-1}$.

$y' = (\frac{1}{2}x - 2x^{-1})' = \frac{1}{2} - 2(-1)x^{-2} = \frac{1}{2} + \frac{2}{x^2}$.

3. Найдем критические точки. Производная не существует в точке $x=0$, но эта точка не входит в область определения функции. Попробуем решить уравнение $y'=0$.

$\frac{1}{2} + \frac{2}{x^2} = 0$

$\frac{2}{x^2} = -\frac{1}{2}$

Это уравнение не имеет действительных решений, так как левая часть $\frac{2}{x^2}$ всегда положительна, а правая — отрицательна.

4. Так как критических точек нет, знак производной постоянен на каждом из интервалов области определения: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Проверим знак производной $y' = \frac{1}{2} + \frac{2}{x^2}$. Для любого $x \neq 0$, $x^2 > 0$, следовательно $\frac{2}{x^2} > 0$. Сумма двух положительных чисел $\frac{1}{2}$ и $\frac{2}{x^2}$ всегда положительна. Таким образом, $y' > 0$ на всей области определения функции.

5. Функция возрастает на каждом из интервалов своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

3) $y = -\frac{x}{3} + \frac{3}{x}$

1. Область определения функции. Функция не определена при $x=0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Найдем производную функции. Представим функцию в виде $y = -\frac{1}{3}x + 3x^{-1}$.

$y' = (-\frac{1}{3}x + 3x^{-1})' = -\frac{1}{3} + 3(-1)x^{-2} = -\frac{1}{3} - \frac{3}{x^2}$.

3. Найдем критические точки. Производная не существует в точке $x=0$, которая не входит в область определения. Решим уравнение $y'=0$.

$-\frac{1}{3} - \frac{3}{x^2} = 0$

$-\frac{3}{x^2} = \frac{1}{3}$

$x^2 = -9$

Это уравнение не имеет действительных решений.

4. Критических точек нет, поэтому знак производной постоянен на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Определим знак производной $y' = -\frac{1}{3} - \frac{3}{x^2}$. Вынесем минус за скобки: $y' = -(\frac{1}{3} + \frac{3}{x^2})$. Для любого $x \neq 0$, $x^2 > 0$, значит $\frac{3}{x^2} > 0$. Выражение в скобках $(\frac{1}{3} + \frac{3}{x^2})$ является суммой двух положительных чисел и всегда положительно. Так как перед скобками стоит знак минус, производная $y'$ всегда отрицательна на всей области определения.

5. Функция убывает на каждом из интервалов своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.