Номер 52.16, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

52.16. Дан график производной функции (рис. 52.3).

Запишите точки максимума и минимума функции.

Рис. 52.3

На изображении представлен график производной функции $y=f'(x)$. Точки экстремума (максимума и минимума) исходной функции $f(x)$ определяются по поведению ее производной.

Точки экстремума функции находятся там, где ее производная равна нулю или не существует, и при этом меняет свой знак. В данном случае производная существует на всей числовой оси. Найдем точки, в которых производная $f'(x)$ равна нулю. Это точки пересечения графика производной с осью абсцисс $Ox$.Из графика видно, что $f'(x) = 0$ при $x = -2$, $x = -1$ и $x = 2$.

Теперь проанализируем, как меняется знак производной при переходе через эти точки, чтобы определить, какие из них являются точками максимума, а какие — точками минимума.

Точки максимума

Точка максимума функции — это точка, в которой производная $f'(x)$ меняет знак с положительного на отрицательный. Это соответствует переходу функции $f(x)$ от возрастания к убыванию.

На графике видно, что в точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» (график расположен выше оси $Ox$ на интервале $(-2, -1)$) на «−» (график расположен ниже оси $Ox$ на интервале $(-1, 2)$).

Следовательно, $x = -1$ является точкой максимума функции.

Точки минимума

Точка минимума функции — это точка, в которой производная $f'(x)$ меняет знак с отрицательного на положительный. Это соответствует переходу функции $f(x)$ от убывания к возрастанию.

Рассмотрим точку $x = -2$. При переходе через эту точку производная меняет знак с «−» (график ниже оси $Ox$ при $x < -2$) на «+» (график выше оси $Ox$ на интервале $(-2, -1)$). Следовательно, $x = -2$ является точкой минимума.

Рассмотрим точку $x = 2$. При переходе через эту точку производная меняет знак с «−» (график ниже оси $Ox$ на интервале $(-1, 2)$) на «+» (график выше оси $Ox$ при $x > 2$). Следовательно, $x = 2$ также является точкой минимума.

Таким образом, функция имеет две точки минимума.

Ответ: точка максимума $x = -1$; точки минимума $x = -2$ и $x = 2$.