Объясните, страница 132, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

ОБЪЯСНИТЕ

Как выполнили преобразования:

1) $ctg(\arcsin a) = \frac{\cos(\arcsin a)}{\sin(\arcsin a)} = \frac{\sqrt{1 - a^2}}{a}$;

2) $tg(\arccos a) = \frac{\sin(\arccos a)}{\cos(\arccos a)} = \frac{\sqrt{1 - a^2}}{a}$;

3) $ctg(\arccos a) = \frac{\cos(\arccos a)}{\sin(\arccos a)} = \frac{a}{\sqrt{1 - a^2}}?$

1) ctg(arcsina) = cos(arcsin a) / sin(arcsin a) = $\frac{\sqrt{1-a^2}}{a}$;

Преобразование выполняется в несколько шагов с использованием определений тригонометрических и обратных тригонометрических функций.

1. Первое равенство основано на определении котангенса: $ctg(x) = \frac{cos(x)}{sin(x)}$. В данном случае в качестве аргумента $x$ выступает $arcsin(a)$. Таким образом, $ctg(arcsin a) = \frac{cos(arcsin a)}{sin(arcsin a)}$.

2. Далее упростим числитель и знаменатель полученной дроби.

Знаменатель: По определению арксинуса, $sin(arcsin a) = a$. Это равенство верно для всех $a$ из области определения арксинуса, то есть $a \in [-1, 1]$.

Числитель: Чтобы найти $cos(arcsin a)$, введем замену: пусть $y = arcsin(a)$. Тогда по определению арксинуса $sin(y) = a$, причем угол $y$ лежит в диапазоне $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Теперь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2(y) + cos^2(y) = 1$. Выразим косинус: $cos^2(y) = 1 - sin^2(y)$. Подставив $sin(y) = a$, получим $cos^2(y) = 1 - a^2$, откуда $cos(y) = \pm\sqrt{1-a^2}$. Поскольку $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ (I и IV координатные четверти), значение косинуса в этом диапазоне всегда неотрицательно ($cos(y) \ge 0$). Следовательно, мы выбираем знак плюс: $cos(y) = cos(arcsin a) = \sqrt{1-a^2}$.

3. Подставляем упрощенные выражения для числителя и знаменателя в исходную дробь: $ctg(arcsin a) = \frac{\sqrt{1-a^2}}{a}$.

Это тождество справедливо для всех $a \in [-1, 1]$, при которых знаменатель не равен нулю, то есть $a \neq 0$.

Ответ: $\frac{\sqrt{1-a^2}}{a}$

2) tg(arccosa) = sin(arccos a) / cos(arccos a) = $\frac{\sqrt{1-a^2}}{a}$;

Преобразование выполняется аналогично предыдущему пункту.

1. Первое равенство основано на определении тангенса: $tg(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}$. Здесь $x = arccos(a)$, поэтому $tg(arccos a) = \frac{sin(arccos a)}{cos(arccos a)}$.

2. Упростим числитель и знаменатель.

Знаменатель: По определению арккосинуса, $cos(arccos a) = a$. Это равенство верно для всех $a \in [-1, 1]$.

Числитель: Чтобы найти $sin(arccos a)$, введем замену: пусть $y = arccos(a)$. Тогда $cos(y) = a$, причем угол $y$ лежит в диапазоне $[0, \pi]$. Из основного тригонометрического тождества $sin^2(y) + cos^2(y) = 1$ выразим синус: $sin^2(y) = 1 - cos^2(y) = 1 - a^2$. Отсюда $sin(y) = \pm\sqrt{1-a^2}$. Поскольку $y \in [0, \pi]$ (I и II координатные четверти), значение синуса в этом диапазоне всегда неотрицательно ($sin(y) \ge 0$). Следовательно, мы выбираем знак плюс: $sin(y) = sin(arccos a) = \sqrt{1-a^2}$.

3. Подставляем упрощенные выражения в дробь: $tg(arccos a) = \frac{\sqrt{1-a^2}}{a}$.

Это тождество справедливо для всех $a \in [-1, 1]$, при которых знаменатель не равен нулю, то есть $a \neq 0$.

Ответ: $\frac{\sqrt{1-a^2}}{a}$

3) ctg(arccosa) = cos(arccos a) / sin(arccos a) = $\frac{a}{\sqrt{1-a^2}}$?

Это преобразование также использует определения тригонометрических и обратных функций. Знак вопроса в конце, вероятно, означает, что требуется подтвердить или выполнить это преобразование.

1. По определению котангенса: $ctg(arccos a) = \frac{cos(arccos a)}{sin(arccos a)}$.

2. Упростим числитель и знаменатель, используя результаты, полученные в предыдущем пункте.

Числитель: По определению арккосинуса, $cos(arccos a) = a$.

Знаменатель: Как было показано в пункте 2, $sin(arccos a) = \sqrt{1-a^2}$.

3. Подставляем эти выражения в формулу для котангенса: $ctg(arccos a) = \frac{a}{\sqrt{1-a^2}}$.

Таким образом, преобразование выполнено верно. Это тождество справедливо для всех $a$, при которых определен арккосинус и знаменатель не равен нулю. Знаменатель $\sqrt{1-a^2}$ равен нулю при $a = \pm1$. Следовательно, равенство верно для $a \in (-1, 1)$.

Ответ: $\frac{a}{\sqrt{1-a^2}}$