Номер 17.3, страница 135, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.3. Вычислите:

1) $\arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - 2\operatorname{arctg} \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + 3\arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 4\operatorname{arcctg}(-1);$

2) $\arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 4\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) - \arcsin \left(-\frac{1}{2}\right) + \operatorname{arcctg}1;$

3) $2\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} - 2\operatorname{arctg}(-1) + \arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \operatorname{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right);$

4) $2\arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) - \arccos (-1) - 2 \operatorname{arctg}\sqrt{3}.$

1) $ \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) - 2\operatorname{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + 3\operatorname{arccos}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - 4\operatorname{arcctg}(-1) $

Для решения этого примера нам необходимо знать значения основных обратных тригонометрических функций. Воспользуемся следующими свойствами и табличными значениями:

• $ \arcsin(-x) = -\arcsin(x) $, область значений $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $
• $ \operatorname{arctg}(-x) = -\operatorname{arctg}(x) $, область значений $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $
• $ \operatorname{arccos}(-x) = \pi - \operatorname{arccos}(x) $, область значений $ [0, \pi] $
• $ \operatorname{arcctg}(-x) = \pi - \operatorname{arcctg}(x) $, область значений $ (0, \pi) $

Вычислим значение каждого слагаемого:

$ \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4} $

$ \operatorname{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\operatorname{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6} $

$ \operatorname{arccos}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \operatorname{arccos}(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $

$ \operatorname{arcctg}(-1) = \pi - \operatorname{arcctg}(1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $

Теперь подставим вычисленные значения в исходное выражение:

$ (-\frac{\pi}{4}) - 2(-\frac{\pi}{6}) + 3(\frac{5\pi}{6}) - 4(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{6} + \frac{15\pi}{6} - \frac{12\pi}{4} $

Упростим дроби:

$ -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{2} - 3\pi $

Приведем все слагаемые к общему знаменателю 12:

$ -\frac{3\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} + \frac{30\pi}{12} - \frac{36\pi}{12} = \frac{-3\pi + 4\pi + 30\pi - 36\pi}{12} = \frac{(-3+4+30-36)\pi}{12} = \frac{-5\pi}{12} $

Ответ: $ -\frac{5\pi}{12} $

2) $ \operatorname{arccos}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 4\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) - \arcsin(-\frac{1}{2}) + \operatorname{arcctg}(1) $

Вычислим каждое слагаемое по отдельности:

$ \operatorname{arccos}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \operatorname{arccos}(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $

$ \operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = -\operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3} $

$ \arcsin(-\frac{1}{2}) = -\arcsin(\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6} $

$ \operatorname{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4} $

Подставим значения в выражение:

$ \frac{5\pi}{6} + 4(-\frac{\pi}{3}) - (-\frac{\pi}{6}) + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{6} - \frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} $

Сгруппируем слагаемые и приведем к общему знаменателю 12:

$ (\frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{6}) - \frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{6\pi}{6} - \frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{4} $

$ \frac{12\pi}{12} - \frac{16\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = \frac{(12-16+3)\pi}{12} = -\frac{\pi}{12} $

Ответ: $ -\frac{\pi}{12} $

3) $ 2\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} - 2\operatorname{arctg}(-1) + \operatorname{arccos}(-\frac{\sqrt{2}}{2}) - \operatorname{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) $

Вычислим значения обратных тригонометрических функций:

$ \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3} $

$ \operatorname{arctg}(-1) = -\operatorname{arctg}(1) = -\frac{\pi}{4} $

$ \operatorname{arccos}(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \operatorname{arccos}(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $

$ \operatorname{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \operatorname{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $

Подставим эти значения в исходное выражение:

$ 2(\frac{\pi}{3}) - 2(-\frac{\pi}{4}) + \frac{3\pi}{4} - \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} + \frac{2\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} - \frac{2\pi}{3} $

Сгруппируем подобные слагаемые:

$ (\frac{2\pi}{3} - \frac{2\pi}{3}) + (\frac{2\pi}{4} + \frac{3\pi}{4}) = 0 + \frac{5\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} $

Ответ: $ \frac{5\pi}{4} $

4) $ 2\operatorname{arccos}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) - \operatorname{arccos}(-1) - 2\operatorname{arctg}\sqrt{3} $

Найдем значения каждого члена выражения:

$ \operatorname{arccos}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \operatorname{arccos}(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $

$ \operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = -\operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3} $

$ \operatorname{arccos}(-1) = \pi $

$ \operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} $

Подставим найденные значения в выражение:

$ 2(\frac{5\pi}{6}) + 2(-\frac{\pi}{3}) - \pi - 2(\frac{\pi}{3}) = \frac{10\pi}{6} - \frac{2\pi}{3} - \pi - \frac{2\pi}{3} $

Упростим дробь и сгруппируем слагаемые:

$ \frac{5\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} - \pi = (\frac{5\pi - 2\pi - 2\pi}{3}) - \pi = \frac{\pi}{3} - \pi $

Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{\pi}{3} - \frac{3\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3} $

Ответ: $ -\frac{2\pi}{3} $