Номер 17.6, страница 135, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.6.1)

$ \cos\left(\arccos\frac{1}{5}\right); $

2)

$ \cos\left(\arccos\left(-\frac{1}{6}\right)\right); $

3)

$ \cos\left(2\arccos\frac{1}{4}\right); $

4)

$ \sin\left(2\arccos\frac{1}{3}\right). $

1) По определению арккосинуса, для любого числа $a$, принадлежащего отрезку $[-1, 1]$, выполняется равенство: $\cos(\arccos a) = a$.

В данном случае $a = \frac{1}{5}$, и это значение находится в пределах от -1 до 1. Следовательно, $\cos(\arccos\frac{1}{5}) = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$

2) Аналогично первому пункту, используем основное тождество $\cos(\arccos a) = a$ для $a \in [-1, 1]$.

Так как $a = -\frac{1}{6}$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, то $\cos(\arccos(-\frac{1}{6})) = -\frac{1}{6}$.

Ответ: $-\frac{1}{6}$

3) Для решения этого примера воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1$.

Пусть $\alpha = \arccos\frac{1}{4}$. Тогда $\cos(\alpha) = \cos(\arccos\frac{1}{4}) = \frac{1}{4}$.

Подставим это значение в формулу:

$\cos(2\arccos\frac{1}{4}) = 2\cos^2(\arccos\frac{1}{4}) - 1 = 2 \cdot (\frac{1}{4})^2 - 1 = 2 \cdot \frac{1}{16} - 1 = \frac{1}{8} - 1 = -\frac{7}{8}$.

Ответ: $-\frac{7}{8}$

4) Для решения этого примера воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$.

Пусть $\alpha = \arccos\frac{1}{3}$. Тогда $\cos(\alpha) = \cos(\arccos\frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$.

Теперь найдем $\sin(\alpha)$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.

$\sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha) = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.

Область значений арккосинуса — это отрезок $[0, \pi]$. Поскольку $\cos(\alpha) = \frac{1}{3} > 0$, угол $\alpha$ находится в первой четверти ($0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$), где синус неотрицателен. Таким образом, $\sin(\alpha) = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Подставим найденные значения $\sin(\alpha)$ и $\cos(\alpha)$ в формулу синуса двойного угла:

$\sin(2\arccos\frac{1}{3}) = 2 \cdot \sin(\arccos\frac{1}{3}) \cdot \cos(\arccos\frac{1}{3}) = 2 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{9}$.

Ответ: $\frac{4\sqrt{2}}{9}$