Номер 17.12, страница 136, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.12. Может ли $arctg x$ принимать значение:

1) 0;

2) 1,4;

3) $-\frac{\pi}{3}$;

4) $-\frac{\pi}{2}$;

5) -1,7;

6) -12?

По определению, арктангенс ($y = \operatorname{arctg} x$) — это функция, обратная к тангенсу ($x = \operatorname{tg} y$), область значений которой — интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Чтобы ответить на вопрос, необходимо проверить, принадлежит ли каждое из предложенных значений этому интервалу. Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14159$, тогда $\frac{\pi}{2} \approx 1,5708$. Таким образом, область значений функции $\operatorname{arctg} x$ — это интервал $(-1,5708; 1,5708)$.

1) 0

Значение 0 находится в интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, так как $-\frac{\pi}{2} < 0 < \frac{\pi}{2}$. Например, $\operatorname{arctg} 0 = 0$. Следовательно, $\operatorname{arctg} x$ может принимать значение 0.

Ответ: да.

2) 1,4

Сравним значение 1,4 с границами интервала. Мы знаем, что $\frac{\pi}{2} \approx 1,5708$. Так как $-1,5708 < 1,4 < 1,5708$, то значение 1,4 принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Следовательно, $\operatorname{arctg} x$ может принимать значение 1,4.

Ответ: да.

3) $-\frac{\pi}{3}$

Необходимо проверить, выполняется ли неравенство $-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$. Первая часть неравенства $-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{3}$ верна, так как это эквивалентно $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$. Вторая часть $-\frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$ также верна, так как любое отрицательное число меньше любого положительного. Значение $-\frac{\pi}{3}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Например, $\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$. Следовательно, $\operatorname{arctg} x$ может принимать значение $-\frac{\pi}{3}$.

Ответ: да.

4) $-\frac{\pi}{2}$

Область значений функции $\operatorname{arctg} x$ — это строгий (открытый) интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, что означает, что концы интервала, $-\frac{\pi}{2}$ и $\frac{\pi}{2}$, не включаются в область значений. Функция $\operatorname{arctg} x$ асимптотически приближается к $-\frac{\pi}{2}$ при $x \to -\infty$, но никогда не достигает этого значения. Следовательно, $\operatorname{arctg} x$ не может принимать значение $-\frac{\pi}{2}$.

Ответ: нет.

5) -1,7

Сравним значение -1,7 с нижней границей интервала. Мы знаем, что $-\frac{\pi}{2} \approx -1,5708$. Так как $-1,7 < -1,5708$, то значение -1,7 не принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Следовательно, $\operatorname{arctg} x$ не может принимать значение -1,7.

Ответ: нет.

6) -12

Сравним значение -12 с нижней границей интервала $-\frac{\pi}{2} \approx -1,5708$. Очевидно, что $-12 < -1,5708$. Значение -12 не принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Следовательно, $\operatorname{arctg} x$ не может принимать значение -12.

Ответ: нет.