Номер 17.17, страница 136, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.17. 1) $ \text{arctg}(\text{tg}1,2); $

2) $ \text{arctg}(\text{tg}5); $

3) $ \text{arcctg}(\text{ctg}6); $

4) $ \text{arcctg}(\text{ctg}10). $

1) По определению, область значений функции арктангенс $y = \operatorname{arctg}(x)$ – это интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Тождество $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(\alpha)) = \alpha$ справедливо только для $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14159$, тогда $\frac{\pi}{2} \approx 1,5708$. Таким образом, интервал, которому должен принадлежать аргумент, это $(-1,5708; 1,5708)$. Число $1,2$ принадлежит этому интервалу, так как $-1,5708 < 1,2 < 1,5708$. Следовательно, $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(1,2)) = 1,2$.

Ответ: $1,2$.

2) Область значений функции арктангенс – это интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Число $5$ не принадлежит этому интервалу, так как $5 > \frac{\pi}{2} \approx 1,5708$. Мы должны найти такое число $\alpha'$, что $\alpha' \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ и $\operatorname{tg}(\alpha') = \operatorname{tg}(5)$. Так как тангенс – периодическая функция с периодом $\pi$, то $\operatorname{tg}(\alpha) = \operatorname{tg}(\alpha - k\pi)$ для любого целого $k$. Нам нужно найти такое целое число $k$, чтобы выполнялось неравенство: $-\frac{\pi}{2} < 5 - k\pi < \frac{\pi}{2}$. Преобразуем неравенство: $k\pi - \frac{\pi}{2} < 5 < k\pi + \frac{\pi}{2}$, что эквивалентно $k - \frac{1}{2} < \frac{5}{\pi} < k + \frac{1}{2}$. Используя $\pi \approx 3,14159$, получаем $\frac{5}{\pi} \approx 1,5915$. Неравенство $k - 0,5 < 1,5915 < k + 0,5$ выполняется при $k=2$. Таким образом, искомое значение равно $5 - 2\pi$.

Ответ: $5 - 2\pi$.

3) По определению, область значений функции арккотангенс $y = \operatorname{arcctg}(x)$ – это интервал $(0; \pi)$. Тождество $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}(\alpha)) = \alpha$ справедливо только для $\alpha \in (0; \pi)$. Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14159$. Интервал $(0; \pi)$ примерно равен $(0; 3,14159)$. Число $6$ не принадлежит этому интервалу. Мы должны найти такое число $\alpha'$, что $\alpha' \in (0; \pi)$ и $\operatorname{ctg}(\alpha') = \operatorname{ctg}(6)$. Так как котангенс – периодическая функция с периодом $\pi$, то $\operatorname{ctg}(\alpha) = \operatorname{ctg}(\alpha - k\pi)$ для любого целого $k$. Нам нужно найти такое целое число $k$, чтобы выполнялось неравенство: $0 < 6 - k\pi < \pi$. Преобразуем неравенство: $k\pi < 6 < k\pi + \pi$, что эквивалентно $k < \frac{6}{\pi} < k + 1$. Используя $\pi \approx 3,14159$, получаем $\frac{6}{\pi} \approx 1,9098$. Неравенство $k < 1,9098 < k + 1$ выполняется при $k=1$. Таким образом, искомое значение равно $6 - \pi$.

Ответ: $6 - \pi$.

4) Область значений функции арккотангенс – это интервал $(0; \pi) \approx (0; 3,14159)$. Число $10$ не принадлежит этому интервалу. Мы должны найти такое число $\alpha'$, что $\alpha' \in (0; \pi)$ и $\operatorname{ctg}(\alpha') = \operatorname{ctg}(10)$. Используя периодичность котангенса (период равен $\pi$), мы ищем целое число $k$, для которого $10 - k\pi$ попадает в нужный интервал. Неравенство: $0 < 10 - k\pi < \pi$. Преобразуем его: $k\pi < 10 < k\pi + \pi$, что эквивалентно $k < \frac{10}{\pi} < k + 1$. Используя $\pi \approx 3,14159$, получаем $\frac{10}{\pi} \approx 3,183$. Неравенство $k < 3,183 < k + 1$ выполняется при $k=3$. Таким образом, искомое значение равно $10 - 3\pi$.

Ответ: $10 - 3\pi$.