Номер 17.23, страница 137, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.23. В одной координатной плоскости постройте графики функций и найдите абсциссы их точек пересечения:

1) $y = 2\sin \frac{5x}{2}$ и $y = 3x$;

2) $y = \cos \frac{x}{2}$ и $y = 2 - 3x$;

3) $y = \operatorname{tg} \frac{x}{2}$ и $y = x + 2$;

4) $y = \operatorname{ctg}(x - 2)$ и $y = 4 - x^2$.

1) Для нахождения абсцисс точек пересечения необходимо построить графики функций $y = 2\sin\frac{5x}{2}$ и $y = 3x$ и решить уравнение $2\sin\frac{5x}{2} = 3x$.

Построение графиков:

- График функции $y = 3x$ – это прямая линия, проходящая через начало координат (0, 0) с угловым коэффициентом 3.

- График функции $y = 2\sin\frac{5x}{2}$ – это синусоида с амплитудой 2 (значения функции лежат в отрезке $[-2, 2]$) и периодом $T = \frac{2\pi}{5/2} = \frac{4\pi}{5}$.

Нахождение абсцисс:

Решаем уравнение $2\sin\frac{5x}{2} = 3x$.

1. Очевидно, что $x=0$ является корнем уравнения, так как $2\sin(0) = 0$ и $3 \cdot 0 = 0$. Это первая точка пересечения.

2. Так как значения синуса ограничены $| \sin(\alpha) | \le 1$, то для функции $y = 2\sin\frac{5x}{2}$ выполняется неравенство $|y| \le 2$. Следовательно, точки пересечения могут существовать только для тех $x$, для которых $|3x| \le 2$, то есть $-\frac{2}{3} \le x \le \frac{2}{3}$.

3. Для $x \ne 0$ уравнение можно переписать в виде $\frac{\sin(5x/2)}{x} = \frac{3}{2}$. Умножив и разделив левую часть на $\frac{5}{2}$, получим: $5 \cdot \frac{\sin(5x/2)}{5x/2} = 3$, или $\frac{\sin u}{u} = \frac{3}{5}$, где $u = \frac{5x}{2}$.

4. Функция $h(u) = \frac{\sin u}{u}$ является чётной, её значение при $u \to 0$ равно 1. На интервале $(0, \pi]$ она монотонно убывает от 1 до 0. Так как $0 < 3/5 < 1$, уравнение $h(u) = 3/5$ имеет ровно один положительный корень $u_0$ и, в силу чётности, один отрицательный корень $-u_0$. Эти корни не выражаются через элементарные функции.

Таким образом, исходное уравнение имеет три корня: $x=0$, и два ненулевых корня $x_1 = \frac{2u_0}{5}$ и $x_2 = -\frac{2u_0}{5}$.

В рамках стандартной школьной программы, как правило, требуется найти только "очевидные" решения. Таким решением является $x=0$.

Ответ: $x = 0$.

2) Для нахождения абсцисс точек пересечения необходимо построить графики функций $y = \cos\frac{x}{2}$ и $y = 2 - 3x$ и решить уравнение $\cos\frac{x}{2} = 2 - 3x$.

Построение графиков:

- График функции $y = 2 - 3x$ – это прямая линия, проходящая через точки (0, 2) и (2/3, 0).

- График функции $y = \cos\frac{x}{2}$ – это косинусоида с амплитудой 1 (значения функции лежат в отрезке $[-1, 1]$) и периодом $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.

Нахождение абсцисс:

Решаем уравнение $\cos\frac{x}{2} = 2 - 3x$.

1. Так как $|\cos\frac{x}{2}| \le 1$, точки пересечения могут существовать только при условии $|2 - 3x| \le 1$.

$-1 \le 2 - 3x \le 1 \implies -3 \le -3x \le -1 \implies 1 \le 3x \le 3 \implies \frac{1}{3} \le x \le 1$.

Следовательно, все решения должны находиться в отрезке $[\frac{1}{3}, 1]$.

2. Проверим, есть ли в этом отрезке целочисленные или простые рациональные решения. Таких решений нет.

3. Рассмотрим функцию $f(x) = \cos\frac{x}{2} + 3x - 2$. Нам нужно найти нули этой функции на отрезке $[\frac{1}{3}, 1]$.

- На концах отрезка: $f(\frac{1}{3}) = \cos(\frac{1}{6}) - 1 < 0$ (так как $\cos\alpha < 1$ для $\alpha \ne 2\pi k$) и $f(1) = \cos(\frac{1}{2}) + 1 > 0$ (так как $\cos\alpha > -1$).

- Поскольку функция $f(x)$ непрерывна и принимает на концах отрезка значения разных знаков, по теореме о промежуточных значениях, на интервале $(\frac{1}{3}, 1)$ есть хотя бы один корень.

- Найдем производную: $f'(x) = -\frac{1}{2}\sin\frac{x}{2} + 3$. Для $x \in [\frac{1}{3}, 1]$, аргумент $\frac{x}{2} \in [\frac{1}{6}, \frac{1}{2}]$. Этот интервал (в радианах) находится в первой четверти, где синус положителен. Тогда $\sin\frac{x}{2} \le \sin(\frac{1}{2}) < \sin(\frac{\pi}{6}) = 0.5$. Таким образом, $f'(x) = 3 - \frac{1}{2}\sin\frac{x}{2} > 3 - \frac{1}{2}(0.5) = 2.75 > 0$.

- Так как производная $f'(x)$ строго положительна на отрезке $[\frac{1}{3}, 1]$, функция $f(x)$ на нем монотонно возрастает, а значит, может пересечь ось абсцисс только один раз.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень, который не может быть выражен аналитически в элементарных функциях.

Ответ: Уравнение имеет один корень, принадлежащий интервалу $(\frac{1}{3}, 1)$. Этот корень является решением трансцендентного уравнения $\cos\frac{x}{2} + 3x - 2 = 0$.

3) Для нахождения абсцисс точек пересечения необходимо построить графики функций $y = \tg\frac{x}{2}$ и $y = x + 2$ и решить уравнение $\tg\frac{x}{2} = x + 2$.

Построение графиков:

- График функции $y = x + 2$ – это прямая линия, проходящая через точки (0, 2) и (-2, 0).

- График функции $y = \tg\frac{x}{2}$ – это тангенсоида с периодом $T = \frac{\pi}{1/2} = 2\pi$. Вертикальные асимптоты находятся в точках, где $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k$, то есть $x = \pi + 2\pi k$ для $k \in \mathbb{Z}$.

Нахождение абсцисс:

Решаем уравнение $\tg\frac{x}{2} = x + 2$.

1. Простые решения путем подстановки целых чисел или значений, связанных с $\pi$, отсутствуют.

2. Рассмотрим поведение функций. Прямая $y = x + 2$ – неограниченная, монотонно возрастающая функция. Функция $y = \tg\frac{x}{2}$ является периодической и на каждом интервале своей области определения, например, на $(-\pi, \pi)$, она возрастает от $-\infty$ до $+\infty$.

3. На каждом интервале вида $((2k-1)\pi, (2k+1)\pi)$, где $k \in \mathbb{Z}$, непрерывная функция $y = \tg\frac{x}{2}$ принимает все действительные значения. Прямая $y = x + 2$ также является непрерывной и возрастающей функцией. Следовательно, на каждом таком интервале графики обязательно пересекутся, причем ровно один раз.

Это означает, что уравнение имеет бесконечное множество решений. Эти решения не могут быть выражены аналитически в элементарных функциях.

Ответ: Уравнение имеет бесконечное множество решений.

4) Для нахождения абсцисс точек пересечения необходимо построить графики функций $y = \ctg(x - 2)$ и $y = 4 - x^2$ и решить уравнение $\ctg(x - 2) = 4 - x^2$.

Построение графиков:

- График функции $y = 4 - x^2$ – это парабола с ветвями, направленными вниз, вершиной в точке (0, 4) и корнями в точках $x = \pm 2$.

- График функции $y = \ctg(x-2)$ – это котангенсоида, сдвинутая на 2 единицы вправо. Период функции равен $\pi$. Вертикальные асимптоты находятся в точках, где $x - 2 = \pi k$, то есть $x = 2 + \pi k$ для $k \in \mathbb{Z}$.

Нахождение абсцисс:

Решаем уравнение $\ctg(x - 2) = 4 - x^2$.

1. Очевидных "хороших" решений нет. Заметим, что $x=2$ не является решением, так как $\ctg(2-2) = \ctg(0)$ не определен.

2. Рассмотрим поведение функций на интервалах между асимптотами котангенса, например, на $(2, 2+\pi)$.

- При $x \to 2^+$, $\ctg(x-2) \to +\infty$, а $4-x^2 \to 0$.

- При $x \to (2+\pi)^-$, $\ctg(x-2) \to -\infty$, а $4 - x^2 = 4-(2+\pi)^2 < 0$.

- Так как на интервале $(2, 2+\pi)$ график котангенса убывает от $+\infty$ до $-\infty$, а график параболы является непрерывной функцией, их графики обязательно пересекутся.

3. Аналогичная ситуация будет на каждом интервале $(2+k\pi, 2+(k+1)\pi)$, где $k \in \mathbb{Z}$. Парабола $y=4-x^2$ является непрерывной функцией на всей числовой оси, а котангенс на каждом таком интервале пробегает все значения от $+\infty$ до $-\infty$. Следовательно, на каждом таком интервале будет как минимум одна точка пересечения.

Это означает, что уравнение имеет бесконечное множество решений, которые не выражаются аналитически в элементарных функциях.

Ответ: Уравнение имеет бесконечное множество решений.