Номер 17.24, страница 137, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.24. Решите уравнение:

1) $x^4 + 2x^2 - 8 = 0;$

2) $x^4 - 2x^2 - 8 = 0;$

3) $x^4 + 6x^2 - 16 = 0;$

4) $x^4 - 7x^2 - 18 = 0.$

1) $x^4 + 2x^2 - 8 = 0$. Данное уравнение является биквадратным. Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то и $t \ge 0$.После замены получаем квадратное уравнение относительно $t$:$t^2 + 2t - 8 = 0$.Найдем его корни с помощью дискриминанта:$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2}$.$t_1 = \frac{-2 - 6}{2} = -4$.$t_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2$.Проверяем условие $t \ge 0$. Корень $t_1 = -4$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним. Корень $t_2 = 2$ подходит.Выполняем обратную замену:$x^2 = 2$.Отсюда получаем два корня: $x = \pm \sqrt{2}$.Ответ: $-\sqrt{2}; \sqrt{2}$.

2) $x^4 - 2x^2 - 8 = 0$.Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.Получаем квадратное уравнение: $t^2 - 2t - 8 = 0$.Найдем его корни. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение -8. Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -2$.Также можно найти корни через дискриминант:$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.$t_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}$.$t_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4$.$t_2 = \frac{2 - 6}{2} = -2$.Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$. Используем только $t_1 = 4$.Выполняем обратную замену:$x^2 = 4$.Корни исходного уравнения: $x = \pm \sqrt{4}$, то есть $x = \pm 2$.Ответ: $-2; 2$.

3) $x^4 + 6x^2 - 16 = 0$.Выполним замену $t = x^2$ ($t \ge 0$).Уравнение примет вид: $t^2 + 6t - 16 = 0$.Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -6, а произведение -16. Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = -8$.Либо через дискриминант:$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100$.$t_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{-6 \pm 10}{2}$.$t_1 = \frac{-6 + 10}{2} = 2$.$t_2 = \frac{-6 - 10}{2} = -8$.Корень $t_2 = -8$ не подходит, так как $t$ не может быть отрицательным. Остается $t_1 = 2$.Возвращаемся к переменной $x$:$x^2 = 2$.Отсюда $x = \pm \sqrt{2}$.Ответ: $-\sqrt{2}; \sqrt{2}$.

4) $x^4 - 7x^2 - 18 = 0$.Сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$).Получаем уравнение: $t^2 - 7t - 18 = 0$.Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение -18. Корни: $t_1 = 9$ и $t_2 = -2$.Или через дискриминант:$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121$.$t_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{7 \pm 11}{2}$.$t_1 = \frac{7 + 11}{2} = 9$.$t_2 = \frac{7 - 11}{2} = -2$.Корень $t_2 = -2$ является посторонним, так как $t \ge 0$. Используем $t_1 = 9$.Выполним обратную замену:$x^2 = 9$.Корни уравнения: $x = \pm \sqrt{9}$, то есть $x = \pm 3$.Ответ: $-3; 3$.