Объясните, страница 139, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

ОБЪЯСНИТЕ

Почему решением уравнения $arccos(x^2 - 1) = arccos(x - x^2)$ являются числа -0,5 и 1?

Для объяснения, почему числа $-0,5$ и $1$ являются решениями уравнения $arccos(x^2 - 1) = arccos(x - x^2)$, необходимо выполнить два основных действия: решить уравнение, которое получается из равенства аргументов, и затем проверить, удовлетворяют ли найденные корни области допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения.

Шаг 1: Упрощение уравнения

Функция $y = \arccos(t)$ является монотонной на всей своей области определения. Это означает, что если $\arccos(a) = \arccos(b)$, то это возможно только при условии, что $a = b$. Применяя это свойство к данному уравнению, получаем:

$x^2 - 1 = x - x^2$

Это алгебраическое уравнение, которое мы можем решить. Перенесем все его члены в левую часть:

$x^2 - 1 - x + x^2 = 0$

$2x^2 - x - 1 = 0$

Шаг 2: Решение квадратного уравнения

Мы получили стандартное квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$

Теперь находим корни $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = 1$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{2}{4} = -0,5$

Таким образом, мы выяснили, что только числа $1$ и $-0,5$ могут быть решениями.

Шаг 3: Проверка корней по Области Допустимых Значений (ОДЗ)

Аргумент функции $arccos$ должен лежать в диапазоне от $-1$ до $1$. Это значит, что для корней исходного уравнения должны выполняться оба условия:

$\begin{cases} -1 \le x^2 - 1 \le 1 \\ -1 \le x - x^2 \le 1 \end{cases}$

Проверим, подходят ли наши найденные корни под эти условия.

Проверка для $x = 1$:

Подставляем $x=1$ в систему неравенств:

$\begin{cases} -1 \le 1^2 - 1 \le 1 \\ -1 \le 1 - 1^2 \le 1 \end{cases} \implies \begin{cases} -1 \le 0 \le 1 \\ -1 \le 0 \le 1 \end{cases}$

Оба неравенства верны. Следовательно, $x = 1$ является решением.

Проверка для $x = -0,5$:

Подставляем $x=-0,5$ в систему неравенств:

$\begin{cases} -1 \le (-0,5)^2 - 1 \le 1 \\ -1 \le (-0,5) - (-0,5)^2 \le 1 \end{cases} \implies \begin{cases} -1 \le 0,25 - 1 \le 1 \\ -1 \le -0,5 - 0,25 \le 1 \end{cases} \implies \begin{cases} -1 \le -0,75 \le 1 \\ -1 \le -0,75 \le 1 \end{cases}$

Оба неравенства также верны. Следовательно, $x = -0,5$ тоже является решением.

Ответ: Числа $-0,5$ и $1$ являются решениями, так как они, во-первых, единственные числа, которые удовлетворяют равенству аргументов $x^2 - 1 = x - x^2$, и, во-вторых, оба этих числа удовлетворяют области допустимых значений функции арккосинус, то есть при их подстановке выражения $x^2 - 1$ и $x - x^2$ принимают значения в отрезке $[-1, 1]$.